中科新闻网邦荣码头 地址:高中数学题
来源：百度文库 编辑：中科新闻网 时间：2024/05/13 06:10:17
已知关于x的实数二次方程x²+ax+b=0有两个实数根α,β,证明: |α|‹2 且 |β|‹2 是 2|a|‹4+b 且 |b|‹4的充要条件
证明：(1）充分性：由韦达定理，得|b|=|α·β|=|α|·|β|＜2×2=4.
设f(x)=x2+ax+b,则f(x)的图象是开口向上的抛物线.
又|α|＜2,|β|＜2,∴f(±2)>0.
即有 4+b>2a>－(4+b)
又|b|＜4 4+b>0 2|a|＜4+b
(2)必要性：
由2|a|＜4+b f(±2)>0且f(x)的图象是开口向上的抛物线.
∴方程f(x)=0的两根α，β同在(－2，2）内或无实根.
∵α，β是方程f(x)=0的实根，
∴α，β同在(－2，2）内，即|α|＜2且|β|＜2.