中科新闻网长春华夏陵园:高中数学题
来源：百度文库 编辑：中科新闻网 时间：2024/04/29 08:55:35
已知 A(3,0) B(0,3) C(cosα,sinα)
(1)若向量AC•向量BC= -1 ,求sin2α
(2)若 | 向量OA+向量OC |=根号13 ,且α∈ ( 0, π), 求向量OB与向量OC的夹角
(1)若向量AC•向量BC= -1 ,求sin2α
(2)若 | 向量OA+向量OC |=根号13 ,且α∈ ( 0, π), 求向量OB与向量OC的夹角
答案是:sin2α=-8/9;
向量OB与向量OC的夹角为30度
过程如下:
由向量AC•向量BC= -1得,直线AC与直线BC垂直,
则可根据斜率相乘等于-1
即[(sinα-3)/cosα]*[sinα/(cosα-3)]=-1
化简得cosα+sinα=1/3 (1)
由于cosα的平方+sinα的平方=1 (2)
(1)的平方-(2)得
2*cosα*sinα=sin2α=-8/9
由| 向量OA+向量OC |=根号13 可得三角形OAC中
OA=3 OC=1 AC=根号13
利用余弦定理得
OA*OA+OC*OC-AC*AC=2*OA*OC*cosα
代入得 cosα=-1/2
又α∈ ( 0, π),
所以α=120度 或 (2*π/3)
则此时,向量OB与向量OC的夹角=α-90度=30度
→
AC=（cosα-3,sinα)
→
BC=(cosα,sinα-3)
→ →
AC·BC=cos平方α-3cosα+sin平方α-3sinα=-1
求得sinα+cosα=2/3
第二个答案应该是arccos根号3/6
两边平方得sin2α=-5/9
(1)-5/18
(2)60度
对不对啊?