中科新闻网一梯两户和两梯四户:高中数学题
来源：百度文库 编辑：中科新闻网 时间：2024/05/11 03:12:22
已知函数f(X)对任意实数x,y都有f(X+Y)=f(X)+f(Y)+3XY(X+Y+2)+3,f(1)=1
若t为自然数，试求f(t)的表达式
若t为自然数，试求f(t)的表达式
f(X+Y)=f(X)+f(Y)+3XY(X+Y+2)+3
令x=t,y=1，有
f(t+1)=f(t)+f(1)+3t(t+1+2)+3
整理，得
f(t+1)=f(t)+3t^2+9t+4
因为t是自然数
所以组成了一个递推数列
首项为f(1)=1
竖着写：
f(2)-f(1)=3*1^2+9*1+4
f(3)-f(2)=3*2^2+9*2+4
...
f(t)=f(t-1)+3(t-1)^2+9(t-1)+4
竖着一加
f(t)=1+3*(1^2+2^2+...+(t-1)^2)+9*(1+2+...+t-1)+4(t-1)
整理得
f(t)= t^3 + 4t^2 - t - 3
因为以上是以f（1）作为首项
所以再令X=0,Y=1
求出f(0)=-3符合上面的通式
所以归到一起，最后f(t)表达式为
f(t)= t^3 + 4t^2 - t - 3
代入特殊值X=1，可得f(Y)，把t=Y代入，可求得f(t)