中科新闻网鱼龙混杂与良莠不齐:数学几何 急需解答
来源：百度文库 编辑：中科新闻网 时间：2024/04/28 03:38:55
等腰三角形ABC 两腰为AB AC, AB=AC=a P为CB上任意一点，求PA^2+PB*PC的值为多少？
还要证明的
还要证明的
猜想定值
若P为BC中点，易知PA^2+PB*PC＝AB＾2＝a^2
设P与B，C重合也能得到上述结论。
证明：
作三角形ABC的外接圆，延长AP交圆于M
则PB*PC＝AP*PM（相交弦定理）
PA^2+PB*PC＝PA^2+AP*PM＝PA（PA+PM）＝PA*PM
由于三角形ABM和三角形APB相似（∠BAM共用，∠M＝∠C＝∠ABP）
所以PA：AB＝AB：AM
即PA*PM＝AB^2=a^2
作三角形ABC的外接圆，延长AP交圆于M
则PB*PC＝AP*PM（相交弦定理）
PA^2+PB*PC＝PA^2+AP*PM＝PA（PA+PM）＝PA*PM
三角形ABM和三角形APB相似（∠BAM共用，∠M＝∠C＝∠ABP）
所以PA：AB＝AB：AM
即PA*PM＝AB^2=a^2
a^2
最快方法是作正三角形，
P为中点，可以简易得出结果