中科新闻网冯提莫是谁带火的:数学奥林匹克初中训练题86高手回答
来源：百度文库 编辑：中科新闻网 时间：2024/04/29 04:54:28
设a,b,c为正数，且a^2+b^2+c^2-2ab-2ac-2bc<0.则以根号a,根号b,根号c为边可不可能构成三角形？
！！注明：sqrt x 表示 x 的平方根 ！！
证明：原式→a^2+b^2+c^2-2ab-2ac+2bc-4bc＜0
→0＜（a-b-c）^2＜4bc
1. a-b-c > 0 则，
0< a-b-c < 2 sqrt(bc)
→0< a < (sqrt b-sqrt c)^2
(1). b > c 则，
0 < sqrt a < sqrt b-sqrt c
(2). c > b 则，
0 < sqrt a < sqrt c-sqrt b
均能构成三角形.
2. a-b-c < 0 则，
0 < b+c-a < 2sqrt(bc)
→(sqrt b-sqrt c)^2 < a
(1). b < c 则，
sqrt b-sqrt c < sqrt a
(2). c < b 则，
sqrt c-sqrt b < sqrt a
亦均能构成三角形.
故由原式的对称轮换性可知，sqrt a,sqrt b,sqrt c 任何情况均能构成三角形.