2016奥斯卡金像奖:勾股定理

勾股定理（毕氏定理，商高定理）
　　勾股定理∶在直角三角形中，两直角边的平方 和等於斜边的平方。

　　勾股定理是初等几何中的一个基本定理。这个 定理有十分悠久的历史，几乎所有文明古国（希腊、中国、埃及、巴比伦、印度等）对此定理都有所 研究，希腊著名数学家毕达哥拉斯（前580至568- 前501至500）曾对本定理有所研究，故西方国家均 称此定理为毕达哥拉斯定理，据说毕达哥拉斯十分喜爱这个定理，当他在公元前550前年左右发现这 个定理时，宰杀了百头牛羊以谢神的默示。但毕达哥拉斯对勾股定理的证明方法已经失传。著名的希 腊数学家欧几里得（前330-前275）在巨著《几何原本》（第Ⅰ卷，命题47）中给出一个很好的证明 （如图1）：分别以直角三角形的直角边AB，AC及斜边BC向外作正方形，ABFH，AGKC及BCED，连FC， BK，作AL⊥DE。则欧几里得通过△BCF及△BCK为媒介。证明了正方形ABFH与矩形BDLM及正方形ACKG与 矩形MLEC等积，於是推得AB2+AC2=BC2。有兴趣的读者可参以下之网址∶
http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/elements.html

图1

　　在我国，这个定理的叙述最早见於《周髀算经 》（大约成书於公元前一世纪前的西汉时期），书中有一段商高（约前1120）答周公问中有「勾广三 ，股修四，经隅五」的话，意即直角三角形的两条直角边是3及4、则斜边是5。书中还记载了陈子（ 前716）答荣方问∶「若求邪至日者，以日下为勾，日高为股，勾股各自乘，并而开方除之、得邪至 日」，古汉语中邪作斜解，因此这一句话明确陈述了勾股定理的内容。至三国的赵爽（约3世纪）， 在他的数学文献《勾股圆方图》中（作为《周髀算经》的注文，而被保留於该书之中）。运用弦图， 巧妙的证明了勾股定理，如图2。他把三角形涂成红色，其面积叫「朱实」，中间正方形涂成黄色叫 做「中黄实」，也叫「差实」。他写道∶「按弦图，又可勾股相乘为朱实二，倍之为朱实四，以勾股 之差相乘为中黄实，加差实，亦称弦实」。若用现在的符号，分别用a、b、c记勾、股、弦之长，赵 爽所述即

2ab+(a-b)2=c2，
化简之得a2+b2=c2。
图2

　　12世纪印度的婆什迦罗（1114-1185）的书中 也有一个类似的图，和弦图不同的是没有外边的正方形，也没有其它说明，只在旁边写著「请看！」 二字。

　　由於勾股定理的简单明白而且重要，从而二千 多年来引起了中外许多人士的兴趣，可称为世上证法最多的定理。若对勾股定理各种不同证明感到兴 趣，可参考
Lommis, E.S.(1968). The Pythagorean Proposition: It's Demonstrations Analyzed and Classified and Bibliography of Sources for Data of the Four Kinds of "Proofs". Washington, D.C.: National Council of Teachers of Mathematics

即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方
http://www.mmit.stc.sh.cn/telecenter/CnHisScience/ggdl.htm

两直角边平方和等于斜边的平方

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勾股定理（勾股定理，商高定理）
　　勾股定理∶在直角三角形中，两直角边的平方 和等于斜边的平方。
　　勾股定理是初等几何中的一个基本定理。这个 定理有十分悠久的历史，几乎所有文明古国（希腊、中国、埃及、巴比伦、印度等）对此定理都有所 研究，希腊著名数学家毕达哥拉斯（前580至568- 前501至500）曾对本定理有所研究，故西方国家均 称此定理为毕达哥拉斯定理，据说毕达哥拉斯十分喜爱这个定理，当他在公元前550前年左右发现这 个定理时，宰杀了百头牛羊以谢神的默示。但毕达哥拉斯对勾股定理的证明方法已经失传。著名的希 腊数学家欧几里得（前330-前275）在巨著《几何原本》（第Ⅰ卷，命题47）中给出一个很好的证明 （如图1）：分别以直角三角形的直角边AB，AC及斜边BC向外作正方形，ABFH，AGKC及BCED，连FC， BK，作AL⊥DE。则欧几里得通过△BCF及△BCK为媒介。证明了正方形ABFH与矩形BDLM及正方形ACKG与 矩形MLEC等积，于是推得AB2+AC2=BC2。有兴趣的读者可参以下之网址∶
http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/elements.html
图1

　　在我国，这个定理的叙述最早见于《周髀算经 》（大约成书于公元前一世纪前的西汉时期），书中有一段商高（约前1120）答周公问中有「勾广三 ，股修四，经隅五」的话，意即直角三角形的两条直角边是3及4、则斜边是5。书中还记载了陈子（ 前716）答荣方问∶「若求邪至日者，以日下为勾，日高为股，勾股各自乘，并而开方除之、得邪至 日」，古汉语中邪作斜解，因此这一句话明确陈述了勾股定理的内容。至三国的赵爽（约3世纪）， 在他的数学文献《勾股圆方图》中（作为《周髀算经》的注文，而被保留于该书之中）。运用弦图， 巧妙的证明了勾股定理，如图2。他把三角形涂成红色，其面积叫「朱实」，中间正方形涂成黄色叫 做「中黄实」，也叫「差实」。他写道∶「按弦图，又可勾股相乘为朱实二，倍之为朱实四，以勾股 之差相乘为中黄实，加差实，亦称弦实」。若用现在的符号，分别用a、b、c记勾、股、弦之长，赵 爽所述即
2ab+(a-b)2=c2，
化简之得a2+b2=c2。
图2

　　12世纪印度的婆什迦罗（1114-1185）的书中 也有一个类似的图，和弦图不同的是没有外边的正方形，也没有其它说明，只在旁边写着「请看！」 二字。
　　由于勾股定理的简单明白而且重要，从而二千 多年来引起了中外许多人士的兴趣，可称为世上证法最多的定理。若对勾股定理各种不同证明感到兴 趣，可参考
Lommis, E.S.(1968). The Pythagorean Proposition: It's Demonstrations Analyzed and Classified and Bibliography of Sources for Data of the Four Kinds of "Proofs". Washington, D.C.: National Council of Teachers of Mathematics.

a2+b2=c2。