浦口别墅楼盘:用数学归纳法证明1/√(1*2)+1/√(2*3)+...+1/√n(n+1)小于√n

来源：百度文库 编辑：中科新闻网 时间：2024/04/29 20:28:20

1、当n=1时，1/√2<√1
2、设当n=k时1/√(1*2)+1/√(2*3)+...+1/√k(k+1)<√k
成立，故只要证明对于n=k+1也成立：
当n=k+1时，1/√(1*2)+1/√(2*3)+...+1/√k(k+1)+1/√(k+1)(k+2)<√k+1
于是有1/√(k+1)(k+2)<√k+1-√k
两边平方：1/(k+1)(k+2)<2k+1-2√k(k+1)
2k+1-1/(k+1)(k+2)>2√k(k+1)
(2k+1)^2-(4k+2)/(k+1)(k+2)+1/(k+1)^2(k+2)^2>4k(k+1)
1-(4k+2)/(k+1)(k+2)+1/(k+1)^2(k+2)^2>0
当k为正整数时1-(4k+2)/(k+1)(k+2)>=0
所以1/√(k+1)(k+2)<√k+1-√k是绝对不等式。得证。

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