快乐的小蜗牛儿歌歌词:求证，对任意正整数n，N=1/5n^5+1/3n^3+7/15n的值恒为整数

N=1/5*n^5+1/3*n^3+7/15*n
=1/15*(3n^5+5n^3+7n)
=1/15*n(3n^4+5n^2+7)
=1/15*n(3n^4-10n^2+7+15n^2)
=n/15*[(3n^2-7)(n^2-1)+15n^2]
=(n-1)n(n+1)(3n^2-7)/15+n^3

因为(n-1)，n，(n+1)是3个连续的自然数，一定有个是3的倍数。

如果（n-1)，n，(n+1)里有5的因子，则(n-1)n(n+1)是15的倍数，得证。

如果（n-1)，n，(n+1)里没有5的因子，
则只能是n=5k+2,n=5k+3.(k是自然数）
n=5k+2时，
3n^2-7=3（5k+2)^2-7=75k^2+60k+5,是5的倍数。
n=5k+3时，
3n^2-7=3（5k+3)^2-7=75k^2+90k+20,是5的倍数。
所以(n-1)n(n+1)(3n^2-7)是15的倍数。

得证。

用二项式定理展开，以及数学归纳法，学过吗？
如下:
1。 当n=1 时，N=1/5+1/3+7/15=1 是整数
2。 假设当n=k时 成立，即N=1/5k^5+1/3k^3+7/15k
以下证明当n=k+1 时(以下组合数直接写出）
N= 1/5(k+1)^5+1/3(k+1)^3+7/15(k+1)
运用二项式定理展开
N=1/5( k^5 + 5 k^4 + 10k^3 + 10 k^2 + 5k +1)+1/3(k^3+ 3k^2 +3k +1 ) +7/15(k+1)
=(1/5k^5 +1/3k^3 + 7/15k)+ 1/5(5 k^4 + 10k^3 + 10 k^2 + 5k )+1/3(3k^2 +3k)+( 1/5+1/3+7/15)
因为 1/5k^5+1/3k^3+7/15k 是整数（2。中假设） ，1/5(5 k^4 + 10k^3 + 10 k^2 + 5k )，1/3(3k^2 +3k)，( 1/5+1/3+7/15) 都是整数
所以当 n=k+1 时， N 是整数
综上，命题成立