中科新闻网西安三原县:一道六年级的奥数题
来源：百度文库 编辑：中科新闻网 时间：2024/04/26 14:21:20
（1）是否存在14个连续正整数，其中每一个数均至少可被一个不小于2，不大于11的素数整除？
（1）是否存在21个连续正整数，其中每一个数均至少可被一个不小于2，不大于13的素数整除？
（1）是否存在21个连续正整数，其中每一个数均至少可被一个不小于2，不大于13的素数整除？
1
．是否存在
14
个连续正整数，其中每一个数均至少可被一
个不小于
2
、不大于
11
的素数整除？
2
．
是否存在
21
个连续正整数，
其中每一个数均至少可被一个不小于
2
、
不大于
13
的素数整除？
【题说】第十五届（
1986
年）美国数学奥林匹克题
1
．
【解】
1
．
14
个连续正整数中，有
7
个奇数
n
，
n
＋
2
，
n
＋
4
，
n
＋
6
，
n
＋
8
，
n
＋
10
，
n
＋
12
不能被
2
整除．这
7
个奇数中，至多
1
个被
11
整除，
一个被
7
整除，
2
个被
5
整除，
3
个被
3
整除．
如果被
3
整除的数少于
3
个或被
5
整除的数少于
2
个，那么这
7
个奇
数中被
3
，
5
，
7
，
11
整除的数不足
7
个．
如果恰有
3
个数被
3
整除，
2
个数被
5
整除，
那么，
被
3
整除的数必须
是
n
，
n
＋
6
，
n
＋
12
，
被
5
整除的
2
个数必须为
n
与
n
＋
10
或
n
＋
2
与
n
＋
12
．
此
时必有一个数
n
或
n
＋
12
同时被
3
，
5
整除．即这
7
个奇数中被
3
，
5
，
7
，
11
整除的数仍不足
7
个．
不管怎样，这
14
个连续正整数中必有
1
个不被
2
，
3
，
5
，
7
，
11
任一
个整除．故答案为不存在．
2
．存在．以下
21
个连续整数
－
10
，－
9
，…，－
1
，
0
，
1
，
2
，
3
，…，
10
除去±
1
，其余整数被
2
，
3
，
5
，
7
之一整除．由中国剩余定理，满足
N
≡
0
（
mod 210
）
N
≡
1
（
mod 11
）
N
≡－
1
（
mod 13
）
的整数
N
存在，于是
N
－
10
，
N
－
9
，…，
N
，
N
＋
1
，…，
N
＋
10
这
21
个连续整数满足所有要求．
不存在的。
不存在
不存在
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
存
在