江西二套姐妹情劫演员:请详细解释函数的单调性

函数单调性
1什么叫增函数和减函数
对于函数f(x)的定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1,x2
⑴若当x1 ⑵若当x1 f(x2),则说f(x) 在这个区间上是减函数.
2什么叫函数的单调性和单调区间
若函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数,则就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,这一区间叫做函数y=f(x)的单调区间.此时也说函数是这一区间上的单调函数.
例
一,证明: f(x)= 在 上是增函数
证明:在区间 上任取两个自变量x1, x2,
令x1 则f(x1 )-f(x2)= - =
0< x1 f(x1 )-f(x2) <0
即当x1 所以f(x)= 在 上是增函数
判断证明函数单调性的一般步骤
⑴设x1, x2是给定区间内的任意两个值,
且x1 ⑵作差f(x1 )-f(x2),并将此差式变形
(要注意变形的程度) ;
⑶判断f(x1 )-f(x2)的正负
(要注意说理的充分性);
⑷根据f(x1 )-f(x2)的符号确定其增减性.
即 1)取值 2)作差变形 3)定号 4)判断
二,判断:y= (a 0) 在 上的单调性
解:设在 上任取两个自变量x1, x2,令x1 f(x1 )-f(x2) = =

=

-1< x1 0,即当x1 f(x2)
所以当a >0时f(x)在 上是减函数
当a < 0时,f(x1 )-f(x2) <0,即当x1 所以当a 0
三,求下列函数的单调区间
1)y=-x2+x+2 ①x R ②x
解:-x2+x+2=-( x2-x-2 )=-[(x- )2- ]
=-(x- )2+
对称轴为x = ,开口向下
所以x R时单调递增区间为 递减区间为
x 时单调递增区间为 递减区间为
2)y=
解:-x2+x+2 0
x2-x-2 0,所以x
由上题可知 为y= -x2+x+2单调 增区间 为y= -x2+x+2的单调减区间
所以y= 的单调增区间为
单调减区间为
四,比较大小
1)函数f(x)在(0,+ )上是减函数,
求f(a2-a+1) 与f( )的大小
解:因为f(x)在(0,+ )是减函数
因为a2-a+1=(a- )2+ ≥ >0
所以f(a2-a+1) ≤ f( )
2)已知二次函数f(x)图象的对称轴为x=2,
又知f(3)< f(4),求f(-3)与f(3)的大小
解:已知函数的对称轴是x=2,因为f(3) f(1),由f(1)= f(3)
得f(-3) > f(3)
综合练习
1下列函数哪一个在(0,+ )是增函数
A.y= (x>0)
B.y= (x 0)
C.y= (x R且 x 0)
Dy=x2-16x+9(x≥10)
2,f(x)=x2+2(a-1)x+2在区间(- ,4)上是减函数,那么a的取值范围是什么
解:函数f(x)图象的对称轴为x=a-1,
当x a-1时,函数单调递减,已知函数在 上是减函数,
所以4 a-1,即a 5
3)已知f(x)在其定义域内为增函数,试解不等式 f(x)- f(2-x) >0
解:
f(x)- f(2-x) >0,即 f(x) > f(2-x)
因为函数f(x)在定义域上是增函数,
x>2-x,且x>0,2-x>0,
x>2-x
即 x>0 所以不等式的解集为
2-x>0

小结
利用函数单调性可以解决下列问题:
一,证明函数的单调性
二,求单调区间
三,比较大小
四,解不等式

一、函数单调性的判别法

1. 函数单调性与其导函数符号间的关系

如果函数 在 上单调增加（单调减少）那末它的图形是一条沿 轴正向上升（下降）的曲线. 这时曲线上各点处的切线斜率是非负的（是非正的），即 ．由些可见，函数的单调性与导数的符号有着密切的联系．

2. 函数单调性的判定法

定理 设函数 在[a,b]上连续，在(a,b)内可导．

(1) 如果在(a,b)内 ，那么函数 在[a,b]上单调增加；

(2) 如果在(a,b)内 ，那么函数 在[a,b]上单调减少．

证 （1）由于函数 在 上连续，在 内可导且 ，在 上任取两点 ，应用拉格朗日中值定理，得到

．

由于 ，且在 内任意点有 ，即 ，于是

，

即 ，

表明函数 在 上单调增加．

同理可证（2）．

如果把这个判定法中的闭区间换成其他各种区间（包括无穷区间），那么结论也成立．