中科新闻网accenture 埃森哲:一个关于二项式定理的问题！
来源：百度文库 编辑：中科新闻网 时间：2024/04/28 23:43:26
1*Cn1+2*Cn2+3*Cn3+……+n*Cnn=?
拜托了！
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设1*Cn1+2*Cn2+3*Cn3+……+n*Cnn=A
不妨再加一项0*Cn0，则0*Cn0+1*Cn1+2*Cn2+3*Cn3+……+n*Cnn=A。
由Cnk的对称性：Cnk=Cn（n-k）可得：
0*Cnn+1*Cn(n-1)+2*Cn(n-2)+……+n*Cn0=A
将上式倒序：n*Cn0+(n-1)*Cn1+...+0*Cnn=A
两式相加：(n+0)Cn0+(n-1+1)Cn1+...+(0+n)Cnn=2A
即：n(Cn0+Cn1+...+Cnn)=2A=n*2^n
所以A=n*2^(n-1)
注意到Cnk=Cn(n-k)
(1)若n为奇数，记作n=2m+1,则把1*Cn1和(n-1)*Cn(n-1),2*Cn2和(n-2)*Cn(n-2)....两两相加起来合并同类项，原式就化为n*Cn1+n*Cn2+...+n*Cnm+n*Cnn
咱们知道有公式Cn0+Cn1+Cn2+Cn3+……+Cnn=2^n,合并掉同类项就是2*(Cn0+Cn1+Cn2+...+Cnm)=2^n
注意Cn0=Cnn，所以：
原式=n*(Cn1+Cn2+...+Cnm+Cnn)=n*2^(n-1)
(2)若n为偶数，记作n=2m,和上面一样的讨论，有：
原式=n*Cn1+n*Cn2+...+n*Cn(m-1)+m*Cmm+n*Cnn
公式Cn0+Cn1+Cn2+Cn3+……+Cnn=2^n,合并掉同类项就是2*(Cn0+Cn1+Cn2+...+Cn(m-1))+Cnm=2^n
所以：
原式=n*[Cn1+Cn2+...+Cn(m-1)+Cnn]+m*Cmm=n*[2^(n-1)-Cnm/2]+Cnm=n*2^(n-1)