中科新闻网巴厘岛四季:帮忙解一道数学题
来源：百度文库 编辑：中科新闻网 时间：2024/04/30 12:10:45
设函数y=f(x)定义在R上,对于任意实数m,n恒有
f(m+n)=f(m)*f(n),且当x>0时,0<f(x)<1.
(1)求证:f(0)=1,且当x<0,f(x)>1
(2)求证:f(x)在R上递减
能简单告诉我一下怎样考虑这样的题吗
f(m+n)=f(m)*f(n),且当x>0时,0<f(x)<1.
(1)求证:f(0)=1,且当x<0,f(x)>1
(2)求证:f(x)在R上递减
能简单告诉我一下怎样考虑这样的题吗
证明：
【1】f(0)=f(0+0)=f(0)*f(0),故f(0)=1或0，
又有f(1)=f(1+0)=f(1)*f(0)≠0，故f(0)=1。
f(0)=f(n)*f(-n)=1,令n>0，f(n)<1,故f(-n)>1。
【2】由已知得：f(mn)＝f((m-1)n)*f(n)，假设m>0.
（1）假设n<0，
（1.1）m>1时，mn<n,只需证f(mn)>f(n)。由m>1,得(m-1)n<0，得f((m-1)n)>1,得f(mn)＝f((m-1)n)*f(n)>f(n)。
（1.2）m<1时，mn>n,只需证f(mn)<f(n)。由m<1,得(m-1)n>0，得f((m-1)n)<1,得f(mn)＝f((m-1)n)*f(n)<f(n)。
(2)假设n>0，证明类似上面。
(3)证明n小于零的函数值比大于0的函数值大是显然的了。
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其实是可以证明f(x)＝a^x，其中0<a<1。这里需要用到极限的知识，如果有听说过区间套原理的，应该就可以自己证明了。
另外，有人直接复制我的答案，在此表示强烈的谴责！！！！！本人在中午睡觉前就证明了第一问，将第二问空着，想不到有人这样就偷袭，很想不公布答案的了，想想这样的人如果有羞耻的话，应该道歉。故而这么晚才将第二问的答案公布。