中科新闻网胎教故事大全听:一道数学证明题
来源：百度文库 编辑：中科新闻网 时间：2024/04/29 23:46:29
已知：a,b,c>0 且 a+b+c=1
求证：[a+a^(-1)]^2+[b+b^(-1)]^2+[c+c^(-1)]^2 >=100/3
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求证：[a+a^(-1)]^2+[b+b^(-1)]^2+[c+c^(-1)]^2 >=100/3
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说明：sqrt(x)表示x的算术平方根
由均值不等式可得：
sqrt(((a+1/a)^2+(b+1/b)^2+(c+1/c)^2)/3)
>=(a+1/a+b+1/b+c+1/c)/3
整理可得：
(a+1/a)^2+(b+1/b)^2+(c+1/c)^2)>=((a+1/a+b+1/b+c+1/c)^2)/3
因为a+b+c=1，所以
(a+1/a)^2+(b+1/b)^2+(c+1/c)^2)
>=((1+1/a+1/b+1/c)^2)/3
=((1+(a+b+c)/a+(a+b+c)/b+(a+b+c)/c)^2)/3
=((1+1+b/a+c/a+a/b+1+c/b+a/c+b/c+1)^2)/3
=((4+(b/a+a/b)+(c/a+a/c)+(c/b+b/c))^2)/3
因为b/a+a/b>=2 c/a+a/c>=2 c/b+b/c>=2
(a+1/a)^2+(b+1/b)^2+(c+1/c)^2)
>=((4+2+2+2)^2)/3=100/3
当且仅当a=b=c=1/3时取得等号
教你一个简单的方法，把a=b=c=1/3代如方程得到100/3这是最大或最小值，再另区三个数代入看是大是小就可以了。