中科新闻网古风发带的系法 图解:高一数学作业
来源：百度文库 编辑：中科新闻网 时间：2024/04/28 01:32:10
已知定义在(0,+无穷)上的函数F(X)满足:(1)对任意的X,Y属于(0,+无穷),都有F(XY)=F(X)+F(Y);(2)当X大于1时F(X)大于0 求证(1)F(1)=0 (2)对任意的X,Y属于(0,+无穷),都有F(1/X)=-F(X) (3)F(X)在(0,+无穷)上为增函数
（1）.令x=y=1,则f(x)=f(y)=f(1)=f(1)+f(1),
所以f(1)=0
(2)令y=1/x，则f(x×1/x）=f(1)=f(1/x)+f(x)=0,
所以f(x)=-f(1/x)
（3）当0＜x＜1时，令a，b为此区间内的两个数，
且a＜b.因为f(x)=-f(1/x),所以-f(a)=f(1/a).则
f(b)-f(a)=f(b)+f(1/a)=f(b/a),又因为a＜b，所以
b/a ＞1,所以f(b/a)＞0,故f(b)-f(a)＞0,即f(b)>f(a),函数此时为增函数；
当x>1时，令c,d为此区间内的两个数，且c>d.同上理，
f(c)-f(d)=f(c)+f(1/d)=f(c/d),因为c>d,所以c/d >1,得f(c/d)>0,即f(c)-f(d)>0,函数此时仍为增函数 ；
综上所述，函数在其定义域 内为增函数！
(1)取x=y=1得f(1)=f(1)+f(1)，于是f(1)=0
(2)取y=1/x得f(x)+f(1/x)=f(x*(1/x))=f(1)=0
于是f(1/x)=-f(x)
(3)取0<x1<x2，只须证明f(x1)<f(x2)
事实上
f(x2)=f((x2/x1)*x1)=f(x2/x1)+f(x1)
而x2/x1>1，由题目条件知f(x2/x1)>0
故f(x2)=f(x2/x1)+f(x1)>f(x1)
得证!