肥佬影音能看的网站:证明:定义在对称区间(-l,l)上的任意函数可以表示为一个奇函数和一个偶函数的和

来源：百度文库 编辑：中科新闻网 时间：2024/04/28 05:39:04
证明:定义在对称区间(-l,l)上的任意函数可以表示为一个奇函数和一个偶函数的和

嗯?怎么还是你啊...呵呵

证明:
设所定义的函数是:f(x),是一个任意函数,在(-1,1)是连续的.那么:有以下表达式:
设:F1(x)=1/2*[f(x)+f(-x)]
F2(x)=1/2*[f(x)-f(-x)]

则有:
f(x)=1/2*[f(x)+f(-x)]+1/2*[f(x)-f(-x)]=F1(x)+F2(x).

很明显,上式是成立的,因为计算出来后两边是相等的.现在我们来分析这个式子.可以看出,式子中加号以前的部分即:F1(x)=1/2*[f(x)+f(-x)]是一个偶函数,因为代入-x后和原式是相等的.
同样,加号以后的部分即:F2(x)是一个奇函数,代入-x后即可以看出来.

所以对于任意一下定义在(-1,1)区间上的函数都可以表示为一个奇函数和一个偶函数的和.

(事实上,只要函数在定义域是关于0对称的,那么上式一定成立. )

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