www.138pao.com:数学问题
来源:百度文库 编辑:中科新闻网 时间:2024/06/01 13:31:33
设 、 分别是椭圆C: 的左、右焦点, 为左准线, 、 分别为其长轴的左、右端点.
(1)若椭圆上的点M( )到 、 的距离之和为4,求椭圆方程;
(2)有一个猜想:“设P( 、 )、Q( 、 )( ≠0)是椭圆C上的任两点,若P、 、Q共线,则直线 、 、 共点”.你认为这个猜想能成立吗?请说明理由.
(1)若椭圆上的点M( )到 、 的距离之和为4,求椭圆方程;
(2)有一个猜想:“设P( 、 )、Q( 、 )( ≠0)是椭圆C上的任两点,若P、 、Q共线,则直线 、 、 共点”.你认为这个猜想能成立吗?请说明理由.
解:(1)由已知得 ,
∴ ,又M在椭圆上,
∴ .
∴ .
∴椭圆方程为 . 4分
(2)由已知, , . ,
直线 的方程为 ,
直线 的方程为 .
设直线 与 交点于 ;直线 与直线 交于 .
, . 7分
要证 、 , 共线,只需证 .
∵P、 、Q共线,
∴ .
∴ . ①
由
,
将①代入得 . ②
又 、Q在椭圆C上,∴
∴
两式相比得 ,∴②恒成立.
∴恒有 .
∴直线 、 、 恒共点. 12分
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