中科新闻网双屏显示不一样:难！数学证明题
来源：百度文库 编辑：中科新闻网 时间：2024/04/30 14:08:48
数列{an}满足 a1=1 且 a(n+1)=[1+1/(n^2+n)]*an+1/2^n，
已知不等式ln(1+x)<x对x>0成立，
证明：an<e^2 ( n>=1 ),（其中无理数e=2.71828……）
已知不等式ln(1+x)<x对x>0成立，
证明：an<e^2 ( n>=1 ),（其中无理数e=2.71828……）
易知，an>=1,由a(n+1)=[1+1/(n^2+n)]*an+1/2^n
，我们有
a(n+1)<=[1+1/2^n+1/(n^2+n)]*an,
两边取对数，有
Lna(n+1)<=Ln[1+1/2^n+1/(n^2+n)]+Lnan
因为已知不等式ln(1+x)<x对x>0成立
，所以有
Lna(n+1)<=1/2^n+1/(n^2+n)+Lnan
=1/2^n+1/n-1/(n+1)+Lnan..................*
将上式的角标（n）从1递增，然后各式两边相加，可得
Lna(n+1)<=Lna1+(1+1/2+1/4...+1/2^n)+1<2
所以an<e^2 ( n>=1 )
ip isd