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关于微积分学的理论体系
摘要:本文从微分中值定理和积分中值定理出发,沿波讨源,探讨了微积分学的理论体系,特别证明了闭区间上连续函数的三个性质与实数连续性的等价性。
关键词:实数连续性定理;等价
在F’( x) = f ( x)于闭区间[ a, b ]连续的条件下, F ( x)的微分与f ( x)的积分构成的矛盾,通过微分中值定理和积分中值定理可把矛盾的双方揭示为统一,从而建立了实一元函数微积分的基本定理和基本公式。那么这两个中值定理又是如何建立的呢? 我们沿波讨源,便得到实分析的理论体系,这就是刻划实数连续性的一些定理,即实分析的理论之源。微分中值定理可由下边定理推出(见文献(1) )
定理1 若f ( x)在[ a, b ]连续,则f ( x)在[ a, b ]上必有上下界。此定理可由下边定理推出。
定理2 若f ( x)在[ a, b ]连续,则f ( x)在[ a, b ]一致连续。
下证由定理2推出定理1:
取定ε> 0, vδ> 0,对P x’, x’’∈[ a, b ], vδ> 0,使当| x’- x’’| <δ时,恒有| f ( x’) - f ( x’’) | <ε 等分[ a, b ]为
n个子区间[ xi - 1 , xi ] ( i = 1, 2, ⋯, n) ,使b - a
n
<δ( x0 = a, xn = b) ,于是对任一x∈[ a, b ],此x必在[ a, b ]
的分成的某个小区间[ xk - 1 , xk ] (1≤k≤n)上。
当x∈[ xk - 1 , xk ]时,有
f ( x) - f ( a) = f ( x) - f ( xk - 1 ) + f ( xk - 1 ) - f ( xk - 2 ) + ⋯ + f ( x2 ) - f ( x1 ) + f ( x1 ) - f ( a) 当x = xk - 1时,有
f ( x) - f ( a) = f ( xk - 1 ) - f ( xk - 2 ) + ⋯ + f ( x2 ) - f ( x1 ) + f ( x1 ) - f ( a)
从而当x∈[ xk - 1 , xk ]时,有
| f ( x) - f ( a) | ≤| f ( xk ) - f ( xk - 1 ) | + | f ( xk - 1 ) - f ( xk - 2 ) | + ⋯ + | f ( x2 ) - f ( x1 ) | + | f ( x1 ) - f ( a) |
≤ε+ε+ ⋯ +ε= kε
于是当∈[ a, b ]时,有
f ( a) - kε< f ( x) < f ( a) + kε,故定理1真。
定理2又可由下边定理推出(见文献(1) ) .
定理3 设D是一个开区间集,且D覆盖一个闭区间[ a, b ],则D中必v有限个开区间覆盖[ a, b ]。
积分中值定理由下边定理推出(见文献(1) ) 。
定理4 若f ( x)在[ a, b ]连续,且f ( a) ·f ( b) < 0,则必v一个实数c∈[ a, b ],使得f ( c) = 0。
上边定理又可由下述定理推出(见文献(1) ) 。
定理5 若闭区间列[ a1 , b1 ], [ a2 , b2 ], ⋯[ an , bn ], ⋯满足条件:
(1) [ an + 1 , bn + 1 ]< [ an , bn ], n = 1, 2, ⋯,
(2) lim
nv ∞
( bn - an ) = 0,
则必v一个实数α∈[ an , bn ], n = 1, 2, ⋯⋯
在文献(2)中已证明了定理3、定理5以及下边的六个定理它们都是等价的:
定理6 有上(下)界的实数集,必有唯一的上(下)确界。
定理7 单调有界数列必有有限极限。
定理8 任何有界无穷点集都有聚点。
定理9 任何有界无穷数列必有收敛子列。
定理10 数列{ xn }收敛到有限极限的充要条件是:
Pε> 0, v自然数N,当m, n >N 时,恒有| xm - xn | <ε。
定理11 把实数集分为适合下列条件的两组A, B
(1) A, B 皆为非空集;
(2)每个实数或属于A 或属于B ,且仅属于一组;
(3) A 中每一数小于B 中每一数;
这样的分割记为A |B。则实数的任一分割A |B ,必唯一确定一实数α,它或是A 中最大数,或是B 中
最小数。
以下证明定理1、定理2以及定理4与上述八个定理也是相互等价的。
其实由定理4] 定理11
定理11的条件显然等价于条件:《设[ a, b ]是实数集的任一闭区间,则对[ a, b ]的任何分割A |B 都
唯一确定一个实数α,它或是A 中最大数或是B 中的最小数。》
所谓对[ a, b ]的分割A |B ,是把[ a, b ]中的实数分为满足下列条件的两组:
(1) A, B 皆为非空集;
(2)每个[ a, b ]中的数,或属于A,或属于B ,且仅属于一组;
(3) A 中每一数小于B 中每一数。
如果定理11不真,即存在一个[ a, b ]及[ a, b ]的一个分割A |B , 使A 中既无最大数, B 中也无最小
数。在[ a, b ]上定义一个函数
f ( x) =
1, , x∈A;
- 1, , x∈B.
任取x0 ∈A 且x0 ≠a,因为A 中无最大数,故v x1 ∈A,使x1 > x0 ;因实数稠
密,故v x2 ∈A使a < x2 < x0 ,取δ=min{ | x1 - x0 | , | x2 - x0 | } ,则当| x - x0 | <δ时,有| f ( x) - f ( x0 ) | = | -
1 - ( - 1) | = 0,从而f ( x)在x0 连续;同理知f ( x)在a连续,故f ( x)在A 连续;仿此可证f ( x)在B 连续;
故f ( x)在[ a, b ]连续。又f ( a) ·f ( b) < 0,且对[ a, b ]任一点x, f ( x) ≠0,即得出一个在[ a, b ]连续,端点
函数值异号但在[ a, b ]每一点都不为0的函数与定理4矛盾,故定理11真。
再由定理1] 定理11:
证:若定理11不真,则v一个有界单调增加但又无上确界的数列x1 < x2 < ⋯ < xn < ⋯, xn < a, ( n =
1, 2, ⋯) ,将[ x1 , a ]分为两组A 与B ,其中B 为[ x1 , a ]中大于xn ( n = 1, 2, ⋯)的数的全体,其中A 为[ x1 ,
a ]中其余数的全体,则A |B 是[ x1 , a ]中的一个分割。显然A 中无最大数, B 为无最小数,在[ x1 , a ]上定
义函数;
f ( x) =
0, x∈B
n, x = xn , ( n = 1, 2, ⋯)
i +
x - xi
xi + 1 - xi
xi < x < xi + 1 , ( i = 1, 2, ⋯)
则f ( x)在[ x1 , a ]连续, 但它又在[ x1 , a ]无界, 与定
理1矛盾,所以定理11为真。
总上知,上述11个定理是相互等价的,它们相互等价的逻辑框图为:
http://www.2000year.com/lunwen/shuxue/200604/1573_2.html
数学论文http://www.yyjsw.cn/lunwen/shuxuelunwen/