茅以升和钱塘江大桥:介绍点余弦调制滤波器组的技术吧

近年来，滤波器组技术在语音编码、图像变换、通信信号处理、雷达等方面得到了广泛应用。虽然滤波器组技术在不同的应用场合有着不同的结构，但其基本原理都是通过分析滤波器将输入信号从频域分解为子带信号。经处理后通过综合滤波器将子带信号合成为原信号。滤波器组的研究已经受到了人们的广泛重视。
子带信号处理从提出概念到今天大约30年的历史，期间经历了以下几个阶段：
（1）提出概念阶段
滤波器组的研究最早起源于20实际70年代，主要应用于多速采样，减少计算复杂度以及减少传输数据率和存储单元的要求。开始受到人们的关注时期是在1980年，提出了两通道正交镜像滤波器组（Quadrature Mirror Filter,简称 ）。由于子带滤波器中存在分析/综合滤波器，上下采样器，所以子带重建信号一般存在三种失真：幅度失真，相位失真和混叠失真。一般存在混叠失真的滤波器组是线性周期时变系统，而完全消除混叠失真的系统是线性时不变系统。如果滤波器组的输出是纯延时的，则称为准确重建系统。
（2）基本理论发展的初步阶段
在1986年，Smith和Barnwell提出的共轭正交滤波器组首次实现了准确重建。在1986年由Vetterli和在1987年由Vaidyanathan分别独立研究了滤波器组的准确重建条件，并将两通道子带延伸到 子带。他们引入了多相位分量分析滤波器组的方法使得滤波器组的设计和分析大大简化，从而推动了这一学科的发展。特别是Vaidyanathan，他和他的研究组提出了 无损系统的晶格结构，用于设计准确重建的正交滤波器组，可以实现功率互补的滤波器组，简化了滤波器的优化设计。这些极大地推动了滤波器组的理论和应用的发展。
（3）丰富完善理论阶段
20世纪80年代末到90年代中期，小波分析研究成为热点。小波的多分辨分析理论研究表明，满足一定正则条件的滤波器组可以迭代计算出小波，Mallat 提出了双尺度方程以及塔式分解算法，这些成果将滤波器组和小波紧密联系在一起，使得滤波器组与小波理论及设计有了非常紧密的联系。众学者开始重视利用滤波器组设计小波，以及滤波器组自身理论的研究。在此期间，众人公认的最有代表性的人物是Vaidyanathan P.P.，他系统地提出了 通道正交滤波器组的理论，他将当时的研究成果汇集成册，成为当时将从事此领域研究者的必读之书。
按照滤波器组所具有的特点，滤波器组分成如下几类：
（1） 带均匀滤波器组
自从引入多相位分量分析滤波器组后，许多学者开始了在这方面的研究。余弦调制 带滤波器组的出现是一次重要飞跃。得出了准确重建条件并用格形结构进行了实现。大大简化了 带滤波器组的设计而且出现了类似 的快速算法，即快速离散余弦变换。本文也将主要介绍余弦调制滤波器组的研究和设计。用调制的方法实现 带滤波器组的方法得到广泛的应用。其中突出的设计方法有：非余弦任意正交调制的 带滤波器组，扩展高斯函数的余弦调制滤波器组，用 调制的 带滤波器组等。
（2）线性相位滤波器组
在某些应用中希望滤波器组是线性相位的，所以线性相位的滤波器组成为了人们研究的热点之一。线性相位一般是通过 滤波器实现的，所以由 滤波器做原型滤波器的滤波器得到了广泛的研究。自从1993年， 通道线性相位正交滤波器组理论诞生以后，余弦调制滤波器组被延伸到线性相位滤波器组领域，从而大大简化了线性相位滤波器组的设计，后来提出的用矩阵分解的方法设计线性相位的两通道滤波器组使得设计更加简洁。而后研究的任意长度任意通道的线性相位滤波器组的理论、结构、及设计方法更具一般性。
（3）过采样滤波器组
当采样因子 小于通道数 时，称为过采样滤波器组。与临界采样滤波器组相比，它具有如下优点：（1）增加了设计的自由度，准确重建条件比较容易满足。（2）增加了系统抗噪声能力。（3）可以设计任意时延的滤波器组。（4）方便设计线性相位滤波器组。
现今，滤波器组的应用已经得到了人们的广泛关注。
在滤波器组的一些应用中在要求滤波器组能够实现准确重建的同时，每一个滤波器具有线性相位特性。但一般滤波器组有些无法实现线性相位的条件，有些虽具有线性相位却不能准确重建，有些又对原型滤波器的阶数有所限制，即使能够实现准确重建和线性相位这两个条件，但其低通原型滤波器却不使线性相位的（即不是有限序列 滤波器）。还有一部分滤波器组能满足以上条件却不是余弦调制的。余弦调制滤波器组技术能够实现准确重建和线性相位的完美结合，而其低通滤波器也是有限序列的。在准确重建 和计算复杂度之间有着良好的折衷性能。同时，由于余弦调制滤波器组有很高的实现效率和很低的资源消耗，因此它得到了广泛的应用。
余弦调试滤波器组可以表现为如下的形式：
其中 和 分别为分析和综合滤波器。而 则为低通原型滤波器。可以看出分析/综合滤波器都是通过对原型滤波器的余弦调制来实现的。这使余弦调制滤波器组具有鲜明的特点。首先，分析滤波器组和综合滤波器组是通过恰当的调制手段优化一个或两个原型滤波器产生的，使整个系统的实现更为高效；另外，整个系统的设计和优化可集中到设计和优化一个原型滤波器上。
故设计和优化低通原型滤波器是设计余弦调制滤波器组的关键。在过去的几十年里，人们对于原型滤波器的研究发展了众多的设计方法。其中的Parks-McClellan的Chebshev近似设计方法，由于其广泛适用性和通用的设计程序，倍受人们的青睐。Parks-McClellan方法是基于最小最大误差判据，它使得设计的滤波器响应与期望滤波器响应之间的最大误差最小化，但是忽略了误差能量。在许多应用领域，阻带能量最小化是至关重要的。如在多速率信号处理中，常用窄带滤波器组将宽带信号分解成一组窄带信号，这就要求所设计的窄带滤波器具有较小的阻带能量，以减少阻带频率的泄漏信号对有用信号的干扰。同时，通常这类算法包含了较费时的矩阵求逆运算或复杂的迭代计算，从而增加了滤波器设计的复杂性，特别是在设计高阶滤波器时所需计算量往往很大。最小二乘设计法是减小阻带能量的一种有效的设计途径。但基于最小二乘设计法滤波器常常会出现Gibbs效应，即在某些频率点上阻带增益很大。这对抑制出现在这些频率点上的干扰信号是极其不利的。
由此可见：虽然余弦调制滤波器组的理论研究已经相对成熟，但在实际操作时很难找到完整的设计算法，其低通原型滤波器组 的设计成为应用的瓶颈。因此，展开对余弦调制滤波器组的低通原型滤波器的各种优化设计算法的研究，借此完善对余弦调制滤波器组的研究，具有非常重要的理论和实际应用价值。
近年来,滤波器组技术在语音编码、图像变换、通信信号处理、雷达等方面得到了广泛应用。虽然滤波器组技术在不同的应用场合有着不同的结构，但其基本原理都是通过分析滤波器将输入信号从频域分解为子带信号。经处理后通过综合滤波器将子带信号合成为原信号。
在很多实际应用中，人们希望对信号进行分析时，在不同的时频段有不同的分辨率，所以要求滤波器组中的滤波器所占有的带宽是非均匀的。许多学者研究了非均匀滤波器组的理论和设计方法。Koilpillai等研究了非均匀滤波器组的准确重建条件，Cox提出合并均匀滤波器组实现非均匀滤波器组的思想，但当时由于没有出现准确重建的 带均匀滤波器组的设计方法，他所设计的非均匀滤波器组是近似准确重建的。而后的一段时间里，人们研制出了共轭正交滤波器组，从而首次实现了准确重建。共轭正交滤波器组是基于均匀滤波器组的理论而实现的。但很显然，共轭正交滤波器组有其致命的缺点：虽然它实现了准确重建和线性相位，但其各自通道滤波器却是非线性相位的（即其序列是 的）。近年来，余弦调制滤波器组得到广泛关注，它具有易于设计和实现复杂度低两个重要特点。在设计方面，仅需设计其低通原型滤波器。实现上，可以通过一组两通道无损格形滤波器和离散余弦/正弦变换快速实现。典型地，尽管 带精确重建余弦调制滤波器组的原型滤波器是线性相位的，但它的各子带分析、综合滤波器以及与滤波器组相应的 带小波不具有线性相位特性。通过允许两个子带滤波器占有相同的频带，人们提出了 带准确重建均匀余弦调制滤波器组 ，其中低通原型滤波器和各子带滤波器均是线性相位的，这一问题迎刃而解。余弦调制滤波器组可以通过格形结构（格形滤波器组的思路就是将多相位矩阵 分解成为一系列级联的块矩阵，并且在分解的同时，用 条件来约束 的形式，从而从结构上保证了滤波器组的 特性）进行准确重建，并同时具有线性相位的原型滤波器，由此简化了线性相位滤波器组的设计。
余弦调制滤波器组的出现在这一领域内可以说是一个重大的突破，其技术将在可以预见的将来越发成熟，得到更大的发展和应用。
就理论而言，原型滤波器的一般设计可由如下公式表示：
其中 低通原型滤波器的傅立叶变换。
而具有准确重建条件的原型滤波器又可以表示成如下形式：
其中 为阻带截止频率。
由此可见：余弦调制滤波器组的低通原型滤波器的设计就是基于以上的表达式而建立的。
20 世纪90 年代初，Koilpillai和Vaidyanathan就余弦调制滤波器组准确重建的充要条件提出了一种格形实现。 的分析/综合滤波器组都是由一个具有线性相位特性的原型滤波器经余弦调制而得到的滤波器。其准确重建性可由格形结构保证,即使格形系数量化也可重建，因而具有很好的稳健性。随着多速率滤波器组和调制滤波器组的准确重建理论的建立，准确重建 的 已成为一种最佳滤波器组。然而这种格形滤波器组的耦合系数是通过最小化原型滤波器的阻带能量来求得的。但它的目标函数是优化参数的高度非线性函数，由于这是一个严重非线性优化问题，求解非常困难；另外，Koilpillai和Vaidyanathan采用Kaiser窗方法直接设计高阻带衰减的原型滤波器，这是一种单参数的优化方法，其最优参数是通过在一定区间内全部搜索(而不是迭代) 得到的，因而计算效率较低，故利用此方法难以设计出具有高阻带衰减的精确重建 (一般阻带衰减在-40 左右)。而Nguyen通过直接优化原型滤波器的系数使阻带衰减达到-100 左右，该方法采用的是有约束的多参数非线性优化，因而计算非常复杂。Creusere和Mitra提出了一种单参数的优化方法，直接设计具有很高阻带衰减的原型滤波器。当 增加时，该方法的运算量明显增加。
而对于本课题来说，旨在研究余弦调制滤波器组的原型低通滤波器组的设计方案。这一课题在当今学术界也正受到广泛的关注。如上所述，一般有格形法，Parks-McClellan方法，Kaiser窗方法，正交镜像法，最小平方逼近法，最佳一致逼近法，多相位分解法等等。还有利用黄金分割和牛顿迭代的方法解决非线性约束优化极值问题的。这些方法都是在余弦调制滤波器组的原型低通滤波器组的研究中比较先进的方法，从某种程度上讲，它们也代表了这一研究方向的发展趋势。

众所周知，余弦调制滤波器组的分析滤波器和综合滤波器都是由一个具有线性相位特性的原型滤波器经余弦调制而得到的滤波器。随着多速率滤波器组和调制滤波器组的精确重建理论的建立，精确重建余弦调制滤波器组(PR-CMFB)逐渐成为了一种最佳滤波器组〔1～3〕。根据滤波器组的多相表示方法和精确重建理论，业已证明这类滤波器组的原型滤波器的2M个多相元素可以归类为M个功率补对，且每个功率补对都可以用两通道无损格形滤波器组来实现〔3～5〕。然而这种格形滤波器组的耦合系数是通过最小化原型滤波器的阻带能量来求得的。由于这是一个严重非线性优化问题，通常很难求解，故难以设计出具有高阻带衰减的精确重建余弦调制滤波器组。近几年针对该问题，许多学者都进行了广泛深入的研究，取得了众多研究成果〔6～11〕。通过直接将原型滤波器系数作为优化变量，本文将这一设计问题转化为带二次型约束的最小二乘(QCLS)优化问题〔8，11〕，并且其约束矩阵都是对称正定的矩阵。从而，可采用一种变参量的罚函数方法来有效求解该优化问题。采用这种设计方法我们获得了高阻带衰减的精确重建余弦调制滤波器组。下面我们总结了现有余弦调制QMF组的设计方法和本文方法的优缺点：
现有PR CMFB设计方法的局限性：
(1) 对初值十分敏感，需提供一个较好的初始近似解；
(2) 所有方法都是迭代类方法，故计算较为复杂；
(3) 所得优化解可能只是一个局部极小点；
(4) 将严重非线性优化问题经过线性化处理转化为一个多变量线性优化问题来求解；
(5) 代价函数φ是关于格形滤波器系数的严重非线性函数，因此很难获得具有高阻带衰减的余弦调制滤波器组。
本文所提出方法的优点：
(1) 无须罚因子参数趋于无穷大即可获得问题的全局最佳解；
(2) 由于该方法的代价函数是所设计的原型滤波器系数的凸函数，具有Lyapunov全局稳定和收敛特性，故无需提供初始近似解；
(3) 解的精度可以通过适当控制罚因子参数的变化范围。换句话说，PR条件和阻带衰减之间的折衷可以通过罚因子参数来控制；
(4) 直接将原型滤波器的冲激响应系数作为优化变量；
(5) 通过适当重组原型滤波器的系数，该方法可很容易推广到多维多通道QMF滤波器组情况