中科新闻网missaonlyyou:数学题,求解~!!!!
来源：百度文库 编辑：中科新闻网 时间：2024/05/05 07:33:23
a^7=b^6,c^3=d^2,c-a=17,b-d=??
(a,b,c,d是正整数)
(a,b,c,d是正整数)
-601
a^7=b^6,所以a=(b/a)^6,b=(b/a)^7
可以设a=m^6,b=m^7,同理设c=n^2,d=n^3
a,b,c,d是正整数,所以m、n也是正整数
c-a=n^2-m^6=17
可以想到m=2,n=9.代入可以求的a,b,c,d
b-d=2^7-9^3=-601
但是我想这应该只是其中的一个解，m、n未必只有2、9这个解！！
但是重新想一下，应该只有这个解，
我们可以m^3看成一个整数
c-a=n^2-(m^3)^2=(n-m^3)(n+m^3)=17
(n-m^3)和（n+m^3）都为整数，而17是素数，因数只有1和17
所以n-m^3=1,n+m^3=17
解方程组得 n=9 ,m=2
a=64 b=128 c=81 d=729
所以呢b-d=-601
至于解法:
将c=a+17代入可得到b-d=a^(7/6)-a^(3/2)
注:a^(6/7)的意思就是a的7次方再开6次方 a^(3/2)同理
因为a,b,c,d是正整数,所以b-d是整数,即a^(7/6)-a^(3/2)是整数
所以只有两种可能,一是a^(7/6)=a^(3/2),此时b=d,但此种情况不成立,因为可以推出a^7=c^9=(a+17)^9不成立
二就是a^(7/6)和a^(3/2)都是整数
即a开6次方和a+17开平方都是整数
于是就很容易想到a=2^6,代入验证成立