中科新闻网南京精神病疗养院:正交矩阵的相似
来源：百度文库 编辑：中科新闻网 时间：2024/04/28 20:14:13
若两个n阶正交阵相似，证明它们正交相似．
即对正交阵A，B，存在n阶方阵T，使
(T逆)AT = B
则存在
n阶正交方阵D，使
(D逆)AD = B．
好像是用相似关系的等价类来说明．我矩阵学得太烂，谁给说一下思路？
有没有人看啊？
即对正交阵A，B，存在n阶方阵T，使
(T逆)AT = B
则存在
n阶正交方阵D，使
(D逆)AD = B．
好像是用相似关系的等价类来说明．我矩阵学得太烂，谁给说一下思路？
有没有人看啊？
恩,我在看，我觉得是这样的:）
正交矩阵因为A逆=A' (转置或转置共扼),所以A'A=AA'(=I),A是正规矩阵,它具有n个正交的特征向量．（完整的证明可以在一般的线性代数书里或所有的高等代数书里找到）．把这些向量排列成一个矩阵（也是正交矩阵）P，可以使得A正交相似变换一个对角矩阵R，对角的元素都是A的特征值．（P逆 AP＝R）
相似变换不改变A的特征值，则如果A和B相似，B也可以找到一个正交矩阵Q，使得Q逆BQ＝R．（特征值是正交矩阵的全系不变量，由一组特征值或者说R可以确定一族正交矩阵的等价关系，这族矩阵的等价关系就是,相似关系,即(T逆)AT = B，T可以不是正交矩阵）
那么，从Q逆AQ＝P逆BP＝R可以得到
PQ逆AQP逆＝B
而两个正交矩阵乘积也是正交矩阵，
所以A和B之间可以通过正交相似变换达到．（QP逆）存在的正交相似变换D
哦 milksea兄,原来是你呵呵,说了很多废话,别骂俺