中科新闻网小叮当之夏日风暴优酷:很急的数学题目!!
来源：百度文库 编辑：中科新闻网 时间：2024/05/11 05:04:57
(本小题满分14分)设函数f(x)＝x2＋px＋q，p、q∈R，满足f(1)＝0，f(0)≥3，f(-1)≤8，如果数列{an}的前n项和Sn＝f(n)－3
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）无穷等比数列{bn}的首项为b1＝2，且所有项的和为4，记Cn＝an·bn，问是否存在自然数N，使得在数列{Cn}中CN项以后的所有项都小于CN，若存在，求出N的最小值；若不存在，说明理由.
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）无穷等比数列{bn}的首项为b1＝2，且所有项的和为4，记Cn＝an·bn，问是否存在自然数N，使得在数列{Cn}中CN项以后的所有项都小于CN，若存在，求出N的最小值；若不存在，说明理由.
f(x)＝x2＋px＋q，p、q∈R，
满足f(1)＝0，1+p+q=0.-p=1+q
f(0)≥3，q≥3
f(-1)≤8，1-p+q≤8, 1+q≤4,q≤3
故q=3,p=-4
f(x)=x^2-4x+3
Sn＝f(n)－3
当n=1时，a1=f(1)-3=-3
当n≥2时，S(n-1)=f(n-1)-3
所以an=Sn-S(n-1)=f(n)-f(n-1)=2n-5
综上：an=2n-5
(2)无穷等比数列{bn}的首项为b1＝2，且所有项的和为4，
则b1/(1-q)=4,q=1/2(这个q是{bn}的公比，非(1)中的q)
bn=2*(1/2)^(n-1)=(1/2)^(n-2)
Cn=(2n-5)*(1/2)^(n-2)
Cn/C(n+1)=(4n-5)/(2n-3)
令Cn/C(n+1)=(4n-5)/(2n-3)>1,
可知当n≥2时，上式恒成立。
当n=1时，C1=a1*b1=-6,C2=a2*b2=-1,C2>C1
故存在N=2，使得在数列{Cn}中CN项以后的所有项都小于CN，