合肥绿宝:怎么证明三角形三条高交于一点

方法1：
三角形ABC中,AC、AB上的高为BE和CF。
显然三角形ABE相似于三角形ACF，故有AB/AC=AE/AF,即AF*AB=AE*AC (1)
过A作三角形ABC的高AD，分别交BE，CF，AB于O1，O2，D。
由三角形AFO2相似于三角形ADB得:AF/AO2=AD/AB,即AF*AB=AO2*AD (2)
由三角形AEO1相似于三角形ADC得:AE/AO1=AD/AC,即AE*AC=AO1*AD (3)
根据等式(1)(2)(3)有
AO1*AD＝AO2*AD,
所以AO1=AO2,O1、O2重合，记重合点为O点，则O点均在高AD，BE，CF上，所以三角形ABC得三条高交于一点O。

方法2：
三角形ABC中，AC、AB上的高BE和CF交于O点，连接并延长AO交BC于D，只需证AD为高即可。
因为角BEC，角CFB均为直角，所以B、C、F、E四点共圆，记为圆BCFE，
由切割线定理知:AF*AB = AE*AC (4)
分别记直角三角形BOF,COE的外接圆为圆BOF，圆COE，
下面只需证明角BDA＝90度即可，
反证：若角BDA小于90度，则角CDA大于90度，因BO，CO分别为圆BOF，圆COE的直径，所以点D在圆BOF外，在圆COE内，由切割线定理推论
AO*AD>AF*AB （点D在圆BOF外）
AO*AD<AE*AC （点D在圆COE内）
结合(4),得出矛盾，故角BDA不小于90度。
同理可证角BDA也不大于90度。
故角BDA＝90度。即AD为高。

设ΔABC，三条高线为AD、BE、CF，AD与BE交于H，连接CF。向量HA=向量a，向量HB=向量b，向量HC=向量c。
因为AD⊥BC，BE⊥AC，
所以向量HA·向量BC=0，向量HB·向量CA=0，
即向量a·(向量c-向量b)=0，
向量b·(向量a-向量c)=0，
亦即
向量a·向量c-向量a·向量b=0
向量b·向量a-向量b·向量c=0
两式相加得
向量c·(向量a-向量b)=0
即向量HC·向量BA=0
故CH⊥AB，C、F、H共线，AD、BE、CF交于同一点H。证毕。

塞瓦定理逆定理