dota2徽章:谁能证明，帮帮忙吧！（平面几何）

由圆心角来比较弧长大小的方法不容易证明，可以通过比较弧的高度来比较弧长的大小(n)

设圆心为O，半径为r，劣弧AB所对应的圆心角为θ
讨论劣弧AB的高随半径r的变化情况
劣弧高=圆半径-△OAB在AB边上的高

在△OAB中有cosθ=(2r^2-AB^2)/2r^2
则sinθ=AB√(4r^2-AB^2)/2r^2
S△OAB=(1/2)r*r*sinθ=AB√(4r^2-AB^2)/4
AB边上的高=S△OAB/AB=√(4r^2-AB^2)/2
劣弧高=r-√(4r^2-AB^2)/2=r-√[r^2-(1/4)AB^2]

讨论：(j)
首先说明，对于任意整数a1、a2、b（a2>a1>b），都有(a2)^2-(a2-b)^2>(a1)^2-(a1-b)^2，
√a2-√(a2-b)<√a1-√(a1-b)，这里就不证明了。

劣弧高=√r^2-√[r^2-(1/4)AB^2]
当r变大时，上式√r^2增加，√[r^2-(1/4)AB^2/]也增加，但√r^2的增加幅度要小于√[r^2-(1/4)AB^2/]的增加幅度，因此整体式子的值变小；
同理：当r变小时，√r^2的减小幅度要小于√[r^2-(1/4)AB^2/]的减小幅度，因此整体式子的值变大。

所以半径r越大，定弦AB所对应的劣弧AB的高越小，则定弦AB所对应的劣弧AB越短。当劣弧AB的高趋近于0时，劣弧AB趋近于弦AB。(z)
所以两圆相交，大圆所对的劣弧AB的长度小于小圆所对的劣弧AB的长度

设弦对应的圆心角为2a, 可以算得，弦长一定的条件下，劣弧长与a/sina成正比，而 a/sina单调递增，故圆心角较大时，弧较长。

见过
不过我n年不弄那东西了

以下所说的弧都是指大圆弧）首先，根据弧长的公式l=θr2（l为弧长，θ为弧所对圆心角的弧度，r是球半径）以及三面角任意两个面角之和大于第三面角这两个事实，证明如下：

如果球面曲线A1A2…An都是由大圆弧所连接成的球面折线，根据三面角任意两个面角之和大于第三面角，得到弧A1A2+弧A2A3>弧A1A3，弧A1A3+弧A3A4>弧A1A4，…，弧A1An-1+弧An-1An>弧A1An，这样就得到球面折线A1A2…An的长度比弧A1An的长度大，而的弧A1An长度又大小于连接弧A1和An的大圆劣弧（如果两点连线是球面的直径，则相等），命题成立。

如果球面曲线AB不是球面折线，在曲线上取n-1个点，使每相邻两点的弧长都不比曲线长度的1/n大，根据上面的结论，得到的这条折线长度比弧AB的长度大，当分点n的数量不断增加，折线的长度会不断接近球面曲线AB的长度，其极限就是球面曲线AB的长度，但此时曲线的长度肯定比弧AB的长度大，所以命题成立。

（以下所说的弧都是指大圆弧）首先，根据弧长的公式l=θr2（l为弧长，θ为弧所对圆心角的弧度，r是球半径）以及三面角任意两个面角之和大于第三面角这两个事实，证明如下：

如果球面曲线A1A2…An都是由大圆弧所连接成的球面折线，根据三面角任意两个面角之和大于第三面角，得到弧A1A2+弧A2A3>弧A1A3，弧A1A3+弧A3A4>弧A1A4，…，弧A1An-1+弧An-1An>弧A1An，这样就得到球面折线A1A2…An的长度比弧A1An的长度大，而的弧A1An长度又大小于连接弧A1和An的大圆劣弧（如果两点连线是球面的直径，则相等），命题成立。

如果球面曲线AB不是球面折线，在曲线上取n-1个点，使每相邻两点的弧长都不比曲线长度的1/n大，根据上面的结论，得到的这条折线长度比弧AB的长度大，当分点n的数量不断增加，折线的长度会不断接近球面曲线AB的长度，其极限就是球面曲线AB的长度，但此时曲线的长度肯定比弧AB的长度大，所以命题成立。