remix混音人生剧透:有没有经典的数学题？

歌德巴赫猜想

请问你要的是什么类型的呢?要高一的,高二的,还是什么级数的,抑或是什么的都没关系的.不管你了,下面的这些都是高中经典的数学题和解答了,供你参考.高考数学填空题怎么填
陕西 安振平

填空题是数学高考的三种基本题型之一，其求解方法分为：直接运算推理法、赋值计算法、规律发现法、数形互助法等等. 解题时，要有合理的分析和判断，要求推理、运算的每一步骤都正确无误，还要求将答案表达得准确、完整. 合情推理、优化思路、少算多思将是快速、准确地解答填空题的基本要求. 下面将按知识分类加以例说.

1. 函数与不等式
例1 已知函数 ，则
讲解 由 ，得 ，应填4.
请思考为什么不必求 呢？
例2 集合 的真子集的个数是
讲解 ，显然集合M中有90个元素，其真子集的个数是 ，应填 .
快速解答此题需要记住小结论;对于含有n个元素的有限集合,其真子集的个数是
例3 若函数 的图象关于直线 对称，则
讲解 由已知抛物线的对称轴为 ,得 ，而 ，有 ，故应填6.
例4 如果函数 ，那么

讲解 容易发现 ，这就是我们找出的有用的规律，于是
原式＝ ，应填
本题是2002年全国高考题，十分有趣的是，2003年上海春考题中也有一道类似题：
设 ，利用课本中推导等差数列前n项和的公式的方法，可求得

2. 三角与复数

例5 已知点P 在第三象限，则角 的终边在第 象限.
讲解 由已知得

从而角 的终边在第二象限，故应填二.
例6 不等式 （ ）的解集为 .
讲解 注意到 ，于是原不等式可变形为

而 ，所以 ，故应填
例7 如果函数 的图象关于直线 对称，那么
讲解 ，其中 .
是已知函数的对称轴，
，
即 ，
于是 故应填 .
在解题的过程中，我们用到如下小结论：
函数 和 的图象关于过最值点且垂直于x轴的直线分别成轴对称图形.
例8 设复数 在复平面上对应向量 ， 将 按顺时针方向旋转 后得到向量 ， 对应的复数为 ，则
讲解 应用复数乘法的几何意义，得

，
于是
故应填
例9 设非零复数 满足 ，则代数式 的值是____________.
讲解 将已知方程变形为 ，
解这个一元二次方程，得

显然有 , 而 ,于是
原式＝
＝
＝
在上述解法中，“两边同除”的手法达到了集中变量的目的，这是减少变元的一个上策，值得重视.

3. 数列、排列组合与二项式定理

例10 已知 是公差不为零的等差数列，如果 是 的前n项和，那么

讲解 特别取 ，有 ，于是有
故应填2.
例11 数列 中， , 则

讲解 分类求和，得

，故应填 ．
例12 有以下四个命题：
①
②
③凸n边形内角和为
④凸n边形对角线的条数是
其中满足“假设 时命题成立，则当n=k+1时命题也成立’’.但不满足“当 （ 是题中给定的n的初始值）时命题成立”的命题序号是 .
讲解 ①当n=3时， ，不等式成立；
② 当n=1时， ，但假设n=k时等式成立，则
；
③ ，但假设 成立，则

④ ，假设 成立，则

故应填②③.
例13 某商场开展促销活动，设计一种对奖券，号码从000000到999999. 若号码的奇位数字是不同的奇数，偶位数字均为偶数时，为中奖号码，则中奖面（即中奖号码占全部号码的百分比）为 .

讲解 中奖号码的排列方法是： 奇位数字上排不同的奇数有 种方法，偶位数字上排偶数的方法有 ，从而中奖号码共有 种，于是中奖面为

故应填
例14 的展开式中 的系数是
讲解 由 知，所求系数应为 的x项的系数与 项的系数的和，即有

故应填1008.

4. 立体几何
例15 过长方体一个顶点的三条棱长为3、4、5, 且它的八个顶点都在同一球面上，这个球的表面积是________.
讲解 长方体的对角线就是外接球的直径 , 即有

从而 ，故应填
例16 若四面体各棱的长是1或2，且该四面体不是正四面体，则其体积是 （只需写出一个可能的值）．
讲解 本题是一道很好的开放题，解题的开窍点是：每个面的三条棱是怎样构造的，依据“三角形中两边之和大于第三边”，就可否定｛1，1，2｝，从而得出｛1，1，1｝，｛1，2，2｝，｛2，2，2｝三种形态，再由这三类面构造满足题设条件的四面体，最后计算出这三个四面体的体积分别为： , , ，故应填. 、 、 中的一个即可.
例17 如右图，E、F分别是正方体的面ADD1A1、面BCC1B1的中心，则四边形BFD1E在该正方体的面上的射影可能是 .（要求：把可能的图的序号都填上）

讲解 因为正方体是对称的几何体，所以四边形BFD1E在该正方体的面上的射影可分为：上下、左右、前后三个方向的射影，也就是在面ABCD、面ABB1A1、面ADD1A1上的射影.
四边形BFD1E在面ABCD和面ABB1A1上的射影相同，如图○2所示；
四边形BFD1E在该正方体对角面的ABC1D1内，它在面ADD1A1上的射影显然是一条线段，如图○3所示. 故应填○2○3.

4. 解析几何
例18 直线 被抛物线 截得线段的中点坐标是___________.
讲解 由 消去y，化简得

设此方程二根为 ，所截线段的中点坐标为 ，则

故 应填 .
例19 椭圆 上的一点P到两焦点的距离的乘积为m，则当m取最大值时，点P的坐标是_____________________.
讲解 记椭圆的二焦点为 ，有

则知
显然当 ，即点P位于椭圆的短轴的顶点处时，m取得最大值25.
故应填 或
例20 一只酒杯的轴截面是抛物线的一部分，它的函数解析式是 ，在杯内放一个玻璃球，要使球触及酒杯底部，则玻璃球的半径r的取值范围是___________.
讲解 依抛物线的对称性可知，大圆的圆心在y轴上，并且圆与抛物线切于抛物线的顶点，从而可设大圆的方程为
由
消去x，得 （*）
解出 或
要使（*）式有且只有一个实数根 ，只要且只需要 即
再结合半径 ，故应填

填空题的类型一般可分为：完形填空题、多选填空题、条件与结论开放的填空题. 这说明了填空题是数学高考命题改革的试验田，创新型的填空题将会不断出现. 因此，我们在备考时，既要把关注这一新动向，又要做好应试的技能准备.