中科新闻网变异熊猫窝:高二解析几何题
来源：百度文库 编辑：中科新闻网 时间：2024/05/01 07:01:54
椭圆的内接三角形的一个顶点在椭圆短轴的一个端点，三角形的重心在椭圆的一个焦点上，求离心率的取值范围
我们先注意两个定理：
1、对椭圆内任一点P，存在过P的直线L，使得L截椭圆为线段AB，且P为AB的中点
2、若ABC的重心为G，D为AB中点，则CD=(3/2)CG
3、(x,y)在椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1内的充要条件为
x^2/a^2+y^2/b^2<1
那么，设椭圆方程为x^2/a^2+y^2/b^2=1
c为半焦距，其中c^2=a^2-b^2
其内接三角形为ABC，其重心G(-c,0)为左焦点，C在椭圆短轴顶点(0,b)上，因CD=(3/2)CG，将得D(-3c/2,-b/2)
由定理1知只须D在椭圆内便可
于是(-3c/2)^2/a^2+(-b/2)^2/b^2<1
c^2/a^2<1/3
而e=c/a
故离心率e<(根号3)/3