默读番外1 5微盘:数学 函数题
来源:百度文库 编辑:中科新闻网 时间:2024/05/13 15:31:41
f(m+n)=f(m)*f(n)
当x>0时,0<f(x)<1
证明:f(x)的单调性
当x>0时,0<f(x)<1
证明:f(x)的单调性
设a>b>0,
于是:0<f(b)<1, 0<f(a-b)<1;
f(a)-f(b)=f[b+(a-b)]-f(b)
=f(b)*f(a-b)-f(b)
=f(b)*[f(a-b)-1]
<0
于是f(x)在x>0时是减函数。
又因为:
f(x)=f(0+x)=f(0)*f(x),
上式对任何x都成立,必然有f(0)=1
于是:
f(0)=f[x+(-x)]=f(x)*f(-x)=1
故f(-x)=1/f(x)
于是:
f(-a)-f(-b)=1/f(a)-1/f(b)
又因f(x)在x>0处为减函数,于是1/f(x)在x>0处为增函数。因为a>b>0,所以上式的右边>0,于是有:
f(-a)>f(-b)
因-a<-b<0,故f(x)在x<0处也为减函数。
综上述,f(x)为减函数。
注:以上重在思路,若有运算错漏还请包含