莫兰蒂 慰问信:已知方程x2-(m+1)x+m+1=0的两个实根为x1、x2, 求(x1 –2)2 +(x2 –2)2 的最小值.

解:(x-2)+(y-2)
=x2-4x+4+y2-4y+4
=(m-2)^2-1
(m+1)^2-4(m+1)≥0
∴m小于等于-1或m≥3
根据图象,得:
m=3时,有最小值0

∵方程x^2-(m+1)x+m+1=0的两个实根为x1、x2
∴x1+x2=-[-(m+1)]=m+1 ……①
x1x2=m+1 ……②
又∵(x1 –2)^2 +(x2 –2)^2
=(x1^2-4x1+4)+(x2^2-4x2+4)
=x1^2+x2^2+4(x1+x2)+4
=x1^2+x2^2+2*x1*x2-2*x1*x2+4(x1+x2)+4
=(x1+x2)^2-2*x1*x2+4(x1+x2)+4 ……③
∴把①、②代入③得：
(m+1)^2-2(m+1)+4(m+1)+4
=m^2+2m+1-2m-1+4m+4+4
=m^2+4m+8
=(m+2)^2+4
又∵要使(m+2)^2+4最小
(m+2)^2≥0 4为定值
∴（m+2)^2+4=0+4=4
∴(x1 –2)^2 +(x2 –2)^2 的最小值为4

注:x1^2的意思是:X1的平方

好多呀，呵呵

x1+x2=m+1
x1*x2=m+1
2
(m+1) -4(m+1)大于等于0
m大于等于3或小于等于-1
原式= 2 2
x1 -4x1+4+x2 -4x2+4
2
=(x1+x2) -2x1x2-8x1x2+8
2
=(m+1) -10(m+1)+8
2
=(m+1-5) -17
2
=(m-4) -17
当m=3是原式有最小值-16

x1^2+4-4x1+x2^2+4-4x2
(x1+x2)^2-2x1x2-4(x1+x2)+8
(m+1)^2-6(m+1)+8
=(m-2)^2-1
最小值为-1，此时M为2