中科新闻网南极旅行游记:不等式证明
来源：百度文库 编辑：中科新闻网 时间：2024/04/29 17:00:20
证明：An=1/2*3/4*...*(2n-1)/(2n) < 1/(2n+1)^1/2
此题很简单
∵A=(1/2)*(3/4)*...*[(2n-1)/(2n)]
∴A²=(1/2)²*(3/4)²*...*[(2n-1)/(2n)]²
<(1/2)*(2/3)*(3/4)*(4/5)*...*[(2n-1)/(2n)]*[(2n)/(2n+1)]=1/(2n+1)
故 A<1/(2n+1)^1/2
归纳法
n=1时成立
假设n=k时成立，即1/2*3/4*...*(2k-1)/2k<1/(2k+1)^(1/2)
则n=k+1时，1/2*3/4*...*(2k+1)/(2k+2)
<[(2k+1)^(1/2)]*[(2k+1)/(2k+2)]
=[(2k+1)^1/2]/(2n+2)
<1/(2k+3)^1/2
即n=k+1时也成立
综上对所有正整数成立
二楼的凭什么说我盗版，明明是你想盗我的
方法1：令Bn=2/3*4/5*...*2n/(2n+1)
显然对比知An<Bn
而An^2<AnBn=1/2*2/3*3/4*...*2n/(2n+1)=1/(2n+1)
所以An<1/(2n+1)^(1/2)
方法2：数学归纳法
n=1时成立
假设n=k时成立，即1/2*3/4*...*(2k-1)/2k<1/(2k+1)^(1/2)
则n=k+1时，1/2*3/4*...*(2k+1)/(2k+2)
<[(2k+1)^(1/2)]*[(2k+1)/(2k+2)]
=[(2k+1)^1/2]/(2n+2)
<1/(2k+3)^1/2
即n=k+1时也成立
综上对所有正整数成立
有点道德的都懂得尊重版权啊
楼上的怎么你的跟我的一样
虽然你先打了几个字母霸了一楼
但你的归纳法怎么跟我一字不漏
还真有默契啊啊啊