中科新闻网北大深圳研究生院好么:1²+2²+……n²=? 怎么证明的
来源：百度文库 编辑：中科新闻网 时间：2024/05/11 00:21:39
怪哉，老了还是咋地，怎么会忘记啊？先上街，一会没人做再说....
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给个算术的差量法求解：
我们知道 (m+1)^3 - m^3 = 3*m^2 + 3*m + 1，可以得到下列等式：
2^3 - 1^3 = 3*1^2 + 3*1 + 1
3^3 - 2^3 = 3*2^2 + 3*2 + 1
4^3 - 3^3 = 3*3^2 + 3*3 + 1
.........
(n+1)^3 - n^3 = 3.n^2 + 3*n + 1
以上式子相加得到
(n+1)^3 - 1 = 3*Sn + 3*n(n+1)/2 + n
其中Sn = 1^2 + 2^2 + 3^2 + ...... + n^2
化简整理得到：
Sn = n*(n + 1)*(2n + 1)/6
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可以一般性的得到计算 1^k + 2^k + 3^k + ...... + n^k 的方法：
采用(m+1)^(k+1) - m^(k+1)的差量计算得到，其中k = 1开始，逐次增大，从递进角度来讲是算术的方法，无须数学归纳法，只是繁琐一点，如果自己推导出来k = 1,2,3,4,5 都很正常。
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(m+1)^4 - m^4 = 4*m^3 + 6*m^2 + 4*m + 1
t同样采用差量得到 (n+1)^4 - 1 = 4*Sn + 6*n(n+1)(2n+1)/6 + 4*n(n+1)/2 + n
化简得到 Sn = [n(n+1)/2]^2
数学归纳法是最佳证明方法
数学归纳法