乌龟头有红点:裂项法是什么

裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的。 通项分解（裂项）倍数的关系。

【中文名】：裂项法
【内 容】：将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的
【公式1】：1/[n(n+1)]=（1/n）- [1/(n+1)]
【公式2】：1/[(2n-1)(2n+1)]=1/2[1/(2n-1)-1/(2n+1)]

　　裂项法（一）

　　同学们知道：在计算分数加减法时，两个分母不同的分数相加减，要先通分化成同分母分数后再计算。

　　（一）阅读思考

　　例如 ，这里分母3、4是相邻的两个自然数，公分母正好是它们的乘积，把这个例题推广

　　到一般情况，就有一个很有用的等式：

　　即

　　或

　　下面利用这个等式，巧妙地计算一些分数求和的问题。

　　【典型例题】

　　例1. 计算：

　　分析与解答：

　　上面12个式子的右面相加时，很容易看出有许多项一加一减正好相互抵消变为0，这一来问题解起来

　　就十分方便了。

　　像这样在计算分数的加、减时，先将其中的一些分数做适当的拆分，使得其中一部分分数可以相互

　　抵消，从而使计算简化的方法，我们称为裂项法。

　　例2. 计算：

　　公式的变式

　　当 分别取1，2，3，……，100时，就有

　　例3. 设符号（ ）、< >代表不同的自然数，问算式 中这两个符号所代表的数

　　的数的积是多少？

　　分析与解：减法是加法的逆运算， 就变成 ，与前面提到的等式

　　相联系，便可找到一组解，即

　　另外一种方法

　　设 都是自然数，且 ，当 时，利用上面的变加为减的想法，得算式

　　。

　　这里 是个单位分数，所以一定大于零，假定，则，代入上式得

　　，即 。

　　又因为 是自然数，所以一定能整除，即是的约数，有个就有个，这一来我们便得

　　到一个比更广泛的等式，即当，，是的约数时，一定有

　　，即

　　上面指出当，，是的约数时，一定有，这里，36共有1

　　，2，3，4，6，9，12，18，36九个约数。

　　当 时， ，

　　当 时， ，

　　当 时， ，

　　当 时， ，

　　当 时， ，

　　当 时， ，

　　当 时， ，

　　当 时， ，

　　当 时， ，

　　故（ ）和< >所代表的两数和分别为49，32，27，25。

　　【模拟试题】

　　二.尝试体验：

　　1. 计算：

　　2. 计算：

　　3. 已知 是互不相等的自然数，当 时，求 。

　　【试题答案】

　　1. 计算：

　　2. 计算：

　　3. 已知 是互不相等的自然数，当 时，求 。

　　的值为：75，81，96，121，147，200，361。

　　因为18的约数有1，2，3，6，9，18，共6个，所以有

　　还有别的解法。

1/n(n+1)=(1/n)-[1/(n+1)]
1/n(n+m)=(1/m){(1/n)-[1/(n+m)]}