暮江吟的欣赏:三道题目,三角函数和不等式

来源:百度文库 编辑:中科新闻网 时间:2024/03/28 19:47:34
1.已知a,b属于R,a2+b2≤4 求证:|3a2-8ab-3b2|≤20
提示:|m•sinA+n•sinA|≤√m2+n2

PS:a2就是a的平方,其他的也一样.√m2+n2,就是根号下,m的平方加n的平方 .

2.a,b,c,d属于R
a+b=c+d=1,ac+bd>1
求证:a,b,c,d中至少一个是负数

两题都做出来,并且在今天之内,我再加分,谢谢了.
急啊!谢谢帮忙

1、
题目中的提示“|m•sinA+n•sinA|≤√m2+n2 ”应该是:
“|m•cosA+n•sinA|≤√m2+n2 ”或“|m•sinA+n•cosA|≤√m2+n2 ”

令a=kcosx,b=ksinx
因为:a2+b2≤4
所以:a2+b2 = k^2 ≤4

|3a2-8ab-3b2| = k^2*|3(cosx)^2-3(sinx)^2-8cosxsinx|
= k^2*|3cos2x - 4sin2x|
≤k^2*sqrt(3^2+4^2)
=5k^2
≤5*4 = 20

(注:sqrt()是开方的意思,x^2表示x的平方)

2、用反证法:
假设a,b,c,d都大于或等于0
因为:a+b=c+d=1
所以令a=(cosx)^2,b=(sinx)^2,c=(cosy)^2,d=(siny)^2
其中0≤x,y≤pi/2
因为0≤cosx、sinx、cosy、siny≤1
所以:
ac+bd = (cosxcosy)^2 + (sinxsiny)^2
≤cosxcosy + sinxsiny (因为一个大于0小于1的数的平方≤这个数)
=cos(x-y)
≤1
这与“ac+bd>1”矛盾
所以a,b,c,d中至少一个是负数。