中科新闻网dota2 熊战士攻略:一道数学题
来源：百度文库 编辑：中科新闻网 时间：2024/05/07 07:05:56
已知0<x<1,0<y<1，0<z<1,求证:x(1-y)+y(1-z)+z(1-x)<1
详细解答！
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证明：法一:
x(1-y)+y(1-z)+z(1-x)
=(1-y-z)x+y(1-z)+z
1)若0<y+z<=1 ,(1-y-z)x+y(1-z)+z<=(1-x-z)+y(1-z)+z=1-yz<1
2)若y+z>1,(1-y-z)x+y(1-z)+z<y(1-z)+z=y+z-yz
=(y-1)(1-z)+1<1
得证
法二:构造函数f(x)=(1-y-z)x+y(1-z)+z
其中f(x)是关于x的一次函数,0<x<1,y、z是常数
因为f(0)=y+z-yz-1=(1-y)(z-1)<0
f(1)=(1-y-z)+y+z-yz-1=-yz<0
所以对于0<x<1,都有f(x)<0
所以(1-y-z)x+y(1-z)+z《0
即x(1-y)+y(1-z)+z(1-x)＜1
ss