办公室剧情解析:数学难题

不定方程1^2+2^2+...+n^2=m^2即金字塔数等于平方数问题,下面给出它的一种解法,如有谬误请各位大侠指正.
原方程即n(n+1)(2n+1)/6=m^2,或n(n+1)(2n+1)=6m^2 (1)
显然n=m=1是原方程的一组解,下面考虑m>n>1的情况.
因n+1-n=1,2n+1-2*n=1,2*(n+1)-2n-1=1,故n,n+1,2n+1两两互质,故n,n+1,2n+1必形如6k^2或3k^2或2k^2或k^2(易知k>1),下面分别讨论2n+1和n+1:
a)由于2n+1为奇数,故2n+1=3k^2或k^2
假设2n+1=3k^2 (k>1),由(1)式及上述可设n=2s^2或n+1=2s^2(s>1)
当n=2s^2时,则有2*2s^2+1=3k^2,即(2s)^2=3k^2-1,但形如3h-1的正整数不可能为平方数,故假设错误.
当n+1=2s^2时,则有2*(2s^2-1)+1=3k^2,即4*s^2-1=3k^2,即(2s+1)(2s-1)=3k^2,由于2s+1,2s-1均为奇数且
2s+1-(2s-1)=2,故2s+1与2s-1互质.所以有2s+1=3k^2, 2s-1=1或2s+1=k^2, 2s-1=3,解得s=k=1或s=2,k=3^0.5,
但k为大于1的正整数,故假设错误.
所以2n+1必形如k^2.
b)由上知n+1=6k^2或3k^2或2k^2或k^2
i)假设n+1=6k^2 (k>1),由(1)式及上述可设n=t^2,则有t^2+1=6k^2,即t^2=3*2k^2-1,但形如3h-1的正整数不可能为平方 数,故假设错误.
ii)假设n+1=3k^2 (k>1),由(1)式及2n+1为奇数可设n=2t^2,2n+1=s^2,由于2n+1=n+(n+1)故有s^2=2t^2+3k^2,假设方程 有解且最小正整数解为s0,t0,k0,则有
s0^2=2*t0^2+3*k0^2 (2)
即s0^2+t0^2=3*(t0^2+k0^2),即3|(s0^2+t0^2),从而易知3|s0,3|t0,所以9|s0^2,9|2t0^2,因 而9|3k0^2,3|k0,又(s0/3)^2=2*(t0/3)^2+3*(k0/3)^2,故s0/3,t0/3,k0/3也是(2)的解,而已知最小正整数解为s0,t0,k0,故
假设错误,(2)式无解.
iii)假设n+1=2k^2 (k>1),由a)可设2n+1=s^2,则有2*(2k^2-1)+1=s^2,即4k^2-1=s^2,但任何平方数均形如4h或4h+1,故 假设错误.
所以n+1必形如k^2.
由上述讨论我们可设n=6k^2,n+1=u^2,2n+1=v^2,即
1+6k^2=u^2
1+12k^2=v^2
令c=uv,则有c^2=(1+6k^2)*(1+12k^2)=(1+9k^2)^2-(3k^2)^2,即
(1+9k^2)^2=c^2+(3k^2)^2 (3)
由于1+9k^2-3*3k^2=1,故1+9k^2与3k^2互质,由勾股定理(x^2+y^2=z^2)的通解公式知
1+9k^2=a^2+b^2 , c=2ab , 3k^2=a^2-b^2 (4)
或 1+9k^2=a^2+b^2 , c=a^2-b^2 , 3k^2=2ab (5)
其中a,b为正整数,(a,b)=1,a和b一奇一偶.
当(4)成立时,则1+9k^2+3k^2=a^2+b^2+a^2-b^2,即1+12k^2=2a^2,此式左边为奇数右边为偶数,此时(3)式无解.
当(5)成立时,则由 3k^2=2ab 知k为偶数,设k=2*k1,k1为正整数,代入(5)有
1+36k1^2=a^2+b^2 (6)
6k1^2=ab (7)
由于a和b一奇一偶,不妨假定a为偶数,因(a,b)=1,由(7)知a,b的取值只有以下几种情况:
i)a=6,b=k1^2,代入(6)式有
1+36k1^2=36+k1^4,当k1>=6时等式右边恒大于左边,当k1=1,2,3,4,5时容易验证k1=1时等式成立,此时
(3)式有解 k=2*k1=1,c=a^2-b^2=35
ii)a=2,b=3k1^2,代入(6)式有
1+36k1^2=4+9k1^4,当k1>=2时等式右边恒大于左边且k1=1时容易验证等式不成立,此时(3)式无解.
iii)a=6k1^2,b=1,代入(6)式有
1+36k1^2=36k1^4+1,解得k1=1,此时 (3)式有解 k=2*k1=1,c=a^2-b^2=35
iv)a=2k1^2,b=3,代入(6)式有
1+36k1^2=4k1^4+9,当k1>=3时等式右边恒大于左边且k1=1,2时容易验证等式不成立,此时(3)式无解.
所以(3)式有唯一解k=2,c=35,此时原方程的解为n=6k^2=24,m=n(n+1)(2n+1)/6=70
所以原方程的全部解为m=n=1和m=70,n=24.

(n+1)^3-n^3=3n^2+3n+1
2^3-1^3=3*1^2+3*1+1
3^3-2^3=3*2^2+3*2+1
4^3-3^3=3*3^2+3*3+1
......(n+1)^3-n^3=3n^2+3n+1
以上各式相加,可得:(n+1)^3-1^3=3( 1^2+2^2+3^2+...+n^2)+3(1+2+3+4+5+6+.....+n)+n
即n^3+3n^2+3n=3(1^2+2^2+3^2+...+n^2)+3n(n+1)/2+n
整理即可得1^2+2^2+3^2+...+N^2=N(N+1)(2N+1)

同理用这种方法可以求得1^3+2^3+3^3+...+N^3=[N(N+1)/2]^2
1^4+2^4+3^4+4^4+...+N^4=(6N^5+15N^4+10N^3-N)/30
...............................

假设1^2+2^2+3^2+...+n^2=1/6 n(n+1)(2n+1),下面证明这个假设
解法如下:
1,当N=1时上式明显成立
2,设N=k时成立,即1^2+2^2+3^2+...+k^2=1/6 k(k+1)(2k+1)
则N=k+1时,1^2+2^2+3^2+...+k^2+(k+1)^2=1/6 k(k+1)(2k+1)+(k+1)^2
=1/6(k+1)(k+2)[2(k+1)+1],即原命题也成立
由1,2可知 原命题是成立的

因为（k+1）^3=k^3+3k^2+3k+1......1
k^3=(k-1)^3+3(k-1)^2+3(k-1)+1.....2
........
........
2^3=1^3+3*1^2+3*1+1......k
k式相加：(k+1)^3-1=3(k^2+....+1)+3(k+k-1+....+1)+k
所以3（k^2+...+1) =(k+1)[(k+1)^2-1-k-(3k(k+1)/2)]
=k(k+1)(2k+1)
故1^2+2^2+3^2+...+N^2=N(N+1)(2N+1)/6

用构造法．利用构造的恒等式（k+1）^3-k^3=3k^2+3k+1（k∈N+）实现求和
当k取1，2，…，n时，得到n个恒等式，把这个n个恒等式两边分别相加，由于左边是两个连续自然数的立方差，叠加后式子左边消去了除（n+1)^3与1^3以外的所有项，右边留下了需要的Sn与可解决的自然数和以及n个常数1之和．
即： （n+1)^3+1=3Sn+3/2 (n+1)n+n

得出Sn=1/6 n(n+1)(2n+1)

把上面给的答案当公式记住是最重要的.(给你的一点建议)