斗鱼面试是当天给offer:平面n边闭折线自交数问题新探（摘要）

第五届全国初等数学研究学术交流会首届“青年初等数学研究奖”获奖论文——
平面n边闭折线自交数问题新探

545200 广西柳城县实验中学 梁卷明

1. 绝路缝生联曰: 小圆环大圆曲径通幽境
一变应万变单骑闯险关
联意如何?且听下文分解
杨之先生曾提出问题[2]:是否对任何的k:0＜k＜θ0(n),都存在自交数为k的n边闭折线Zn ?
笔者研究这个问题时发现:
定理1:若n≥4且为偶数,则必存在自交数为k∈(0, θ0(n))的Zn.

2心旷神怡
联曰: 万里长征偶得绝技百疑去
蜀道跋涉心有灵犀一点通
联意如何?且听下文分解.
类似定理1的证法,只要将图2(图中: θ0(Zm)= θ0(m)且m为奇数)分别作变换①Am-1→C1 ,②Am-1→C1且A1→Bi,③Am-1→C2,④Am-1→C2且A1→Bi(i=1,2,3,…，m-3)，则我们易证：
定理2:当n≥5且为奇数时,必存在自交数为k∈（0，θ0(n)-1）的Zn.
另外,利用本文的图形变换法,我们还可以从图形的变换中观察到双折数、环数与自交数的变化规律,从而为折线研究找到了一个新的突破口,这正是——
绝顶快攀登看四面云山万村烟树
名胜欣游览有n边折线五彩缤纷
顺言文[6]证明了:
定理3:若n≥5且为奇数,则必不存在自交数为θ0(n)-1的n边闭折线Zn.
另外,笔者还发现了构造自交数为k的Zn的一个绝妙的方法,由于用的特技较多,读者较难理解,在此就从略了.

参考文献:
1. 杨之,初等数学研究的问题与课题.湖南教育出版社,1993年5月第1版,p70-83.
2. 杨之,双折数、自交数与环数.中学数学,1999,8.p42-44.
3. 王方汉,两类星形及其自交数.初等数学前沿,江苏教育出版社,1995,3.p149-158.
4. 姚勇,关于闭折线自交数一个猜想的证明，中学数学教学参考,2000,12.p55-56.
5. 梁卷明,n边闭折线最大自交数公式简证,中学数学教学参考,2002,6.p53.
6. 梁卷明,杨世明猜想的简证,中学数学,2003,4.p25.
请问能否利用本文的变换法去证明平面闭折线的其它性质？