中科新闻网高中教师专硕还是学硕:谁能帮我解决一道初二数学问题
来源：百度文库 编辑：中科新闻网 时间：2024/04/24 05:41:52
设n为正整数，求证8的2n+1次方加上7的n+2次方的和是57的倍数。（请写清楚过程）
(a+b)2=a2+2ab+b2 (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3 (a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4 ……
由此可知：(a+b)n除首项与末项，中间项都有两数乘积
证明：82n+1+7n+2＝64n×8＋7n×49
＝64n×8＋7n×（57－8）
＝64n×8＋7n×57－7n×8
＝57×7n＋8×（64n＋7n）
＝57×7n＋8×〔（57＋7）n＋7n〕
＝57×7n＋8×（57n＋ 57n-1×7＋……＋57×7n-1）
＝57×（7n＋8×57n-1×7＋……＋8×57×7n-1）
所以，当n为正整数时，82n+1+7n+2是57的倍数
注：解题过程中，与n有关的均为上标
N=1
是求证，不是问N=？
①当N=1时,8的2n+1次方加上7的n+2次方的和是57*15,可以被57整除
②假设当N=K时命题成立,即8的2n+1次方加上7的n+2次方的和为57*M
则当N=K+1时,左边=8的2n+3次方加上7的n+3次方,即8的2n+1次方乘以64加7的n+2次方乘以7,又7的n+2次方等于57*M减去8的2n+1次方,所以化简为57*7*M+57*8的2n+1次方,可以被57整除
③由①,②推知,N为任意正整数命题成立
我上高2,刚学的数学归纳法,用上了,哈哈