中山东区中学王佳薇:一道关于飞机加油的问题

来源:百度文库 编辑:中科新闻网 时间:2021/04/16 01:48:59
已知:
每个飞机只有一个油箱,飞机之间可以相互加油(注意是相互,没有加油机);一箱油可供一架飞机绕地球飞半圈.

问题: 为使至少一架飞机绕地球一圈回到起飞时的飞机场,至少需要出动几架飞机?
(所有飞机从同一机场起飞,而且必须安全返回机场,不允许中途降落,中间没有飞机场)

(1)直线飞行
一架飞机载满油飞行距离为1,n架飞机最远能飞多远?在不是兜圈没有迎头接应的情况,这问题就是n架飞机能飞多远?存在的极值问题是不要重复飞行,比如两架飞机同时给一架飞机加油且同时飞回来即可认为是重复,或者换句话说,离出发点越远,在飞的飞机就越少,这个极值条件是显然的,因为n架飞机带的油是一定的,如重复,则浪费的油就越多。比如最后肯定是只有一架飞机全程飞行,注意“全程”这两个字,也就是不要重复的极值条件。如果是两架飞机的话,肯定是一架给另一架加满油,并使剩下的油刚好能回去,就说第二架飞机带的油耗在3倍于从出发到加油的路程上,有三架飞机第三架带的油耗在5倍于从出发到其加油的路程上,所以n架飞机最远能飞行的距离为s=1+1/3+…+1/(2n+1)这个级数是发散的,所以理论上只要飞机足够多最终可以使一架飞机飞到无穷远,当然实际上不可能一架飞机在飞行1/(2n+1)时间内同时给n-1个飞机加油。
(2)可以迎头接应加油
一架飞机载满油飞行距离为1/2,最少几架飞机能飞行距离1?也是根据不要重复飞行的极值条件,得出最远处肯定是只有一架飞机飞行,这样得出由1/2处对称两边1/4肯定是一架飞机飞行,用上面的公式即可知道一边至少需要两架飞机支持,(1/3+1/5)/2>1/4(左边除以2是一架飞机飞行距离为1/2),但是有一点点剩余,所以想像为一个滑轮(中间一个飞机是个绳子,两边两架飞机是个棒)的话,可以滑动一点距离,就说加油地点可以在一定距离内变动(很容易算出来每架飞机的加油地点和加油数量,等等)
所以最少要5架飞机。

4架飞机。详细分析如下:
把地球看成一个圆圈,分成六个单位,起点为0,其它分割点坐标分别为1,2,3,4,5。终点即起点0。如题,则每个飞机加满油能飞半圈,即三个单位,我们假定一箱油为三单位油,则每单位油飞一个单位的路程。一飞机飞完一圈需要六个时间单位,所以把整个动作分为六步,每一步每个飞机飞一个单位消耗一单位油。现设ABCD为四个飞机,在时刻0的时候都在起点,显示为A03,B03,C03,D03(字母表示飞机,第一个数字表示飞机飞到第几个坐标点,第二个数字表示还剩几个单位的油。如A03表示飞机A在起点0处,有3个单位的油)
第一步:AB同时起飞,从0飞往1。一个时间单位后为:A12。B12,B给A一个单位的油,则A13,B11。
第二步:A继续前飞,从1飞到2。B返回,一个时间单位后为:A22B00。B回基地加满油后变为:A22B03。
第三步,A继续前飞,从2飞往3。此时,B和C逆向飞,即从0飞往5,一单位时间后为:A31,B52,C52,B给C一单位油,变为:A31,B51,C53。
第四步:A继续飞,从3飞到4。B返回起点,C继续逆向飞,由坐标5飞往坐标4。一单位时间后:A40,B00,C42。C给一单位油给A,变为:A41,C41。B和D在基地加满油则为:B03,D03。
第五步:A和C从4飞往5,B和D从0飞往5,一单位时间后为:A50,B52,C50,D52.B给A一单位油,D给C一单位油,变为:A51,B51,C51,D51。
第六步:四飞机飞回起点0。想答案用的时间不算长,但把答案清楚写出来,费了一番脑筋,花了较长时间,请大家珍惜劳动成果,注明原创作者:addery秦。

同一方向一起起飞3架飞机,1/8处,其中一架返回,这时候消耗1/4,返回需要1/4,余下的1/2正好给其他两架加满,飞到1/4处,剩余3/4,返回需要1/2,剩余加满,这时候在1/4是满的,可以飞到3/4处,同理再来2架飞机从另一边去接应,到7/8处一架飞机加满,另一驾剩余1/2,到3/4处接应剩余3/4,正好一架飞回,另一家1/4,可以飞回7/8,两架飞机一人1/4桶油返回机场。所以理论上最少应该是5架。存在1/4处一架飞机留1/2桶油等待的现实问题。

5架不够,需六架,前面两架多出1/2箱油,后面需三架接应机才能多出1/2箱油

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